MATEMANIJA

Kako izvesti sljedeću formulu:
[dispmath]P=s^2\cdot\text{tg }\frac{\alpha}{2}\cdot\text{tg }\frac{\beta}{2}\cdot\text{tg }\frac{\gamma}{2},[/dispmath] U rješenju je ponuđen sljedeći postupak:
Preko sinusne teoreme dobije se:
[dispmath]b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha},\quad c=\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}[/dispmath] što se uvrsti u formulu za obim: [inlmath]2s=a+b+c[/inlmath].
Dalje,
[dispmath]a=\frac{s\cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}\cdot\cos\frac{\gamma}{2}}[/dispmath] Kako se dobije [inlmath]a[/inlmath]? Šta dalje učiniti sa dobijenim [inlmath]a[/inlmath]?
Unaprijed hvala...

Kao što postupak nalaže, iz sinusne teoreme se izvedu stranice [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], i uvrste u formulu za poluobim. Dakle,
[dispmath]2s=a+\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}+\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}[/dispmath] Svedemo ovaj izraz na zajednički imenilac i izvučemo [inlmath]a[/inlmath] u brojiocu, a zatim izrazimo to [inlmath]a[/inlmath] koje smo u brojiocu izvukli, i dobijemo:
[dispmath]a=\frac{2s\cdot\sin\alpha}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}\tag1[/dispmath]

---

Sada da malo sredimo imenilac. Pošto znamo da je trougao u pitanju, možemo slobodno da pišemo [inlmath]\gamma=\pi-(\alpha+\beta)[/inlmath], i to zamenimo, pa imamo:
[dispmath]\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\bigl(\pi-(\alpha+\beta)\bigr)[/dispmath][dispmath]\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha(1+\cos\beta)+\sin\beta(1+\cos\alpha)\tag2[/dispmath]

---

Upotrebićemo ovde dva poznata trigonometrijska identiteta:
[dispmath]\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/dispmath] i
[dispmath]1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}[/dispmath] Primenjujući ove identitete na [inlmath](2)[/inlmath], dalje dobijamo:
[dispmath]2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cdot2\cos^2\frac{\beta}{2}+2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cdot2\cos^2\frac{\alpha}{2}=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right)[/dispmath][dispmath]4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}[/dispmath]

---

Ovo zamenimo u [inlmath](1)[/inlmath], opet primenimo prvi trigonometrijski identitet koji sam napisao, i dobije se upravo ono što i piše u postupku. Dovoljno je da još izračunaš [inlmath]b[/inlmath], tako što zameniš [inlmath]a[/inlmath] u [inlmath]b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}[/inlmath] i još jednom primeniš ovaj prvi identitet.
Skoro je gotovo, još samo da nađeš površinu. Najlakše je da upotrebiš formulu [inlmath]P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma[/inlmath]. U nju zameniš [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] koje imamo i poslednji put primeniš gorepomenuti identitet na [inlmath]\sin\gamma[/inlmath]. Sve se lepo skocka i dobije se ono što se i trebalo dobiti.
Ako negde zapne, javi.

Uspio sam riješiti, mnogo hvala... Bio sam na dobrom tragu, samo sam zapeo kod polovičnih uglova.

Nema na čemu! Ovakve „forice“ čine trigonometriju zanimljivijom i lakšom, ali zna ona itekako da zagorča život.

P.S. Napravih malu pravopisnu grešku, živ čovek greši.

Predlažem još jedno rešenje zadatka.
Neka su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], odsečci na stranici [inlmath]a[/inlmath], određeni dodirnom tačkom upisane kružnice. Pošto je centar upisane kružnice, tačka [inlmath]S[/inlmath], presek simetrala unutrašnjih uglova, a trougao [inlmath]\Delta SBD[/inlmath] pravougli,


primenom definicija trigonometrijskih funkcija dobijamo relaciju [inlmath]\frac{x}{r}=\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]x=r\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}[/inlmath]. Slično, iz pravouglog trougla [inlmath]\Delta SDC[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]y=r\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}[/inlmath], pa sledi da je
[dispmath]a=x+y=r\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+r\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}=r\cdot\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}\right)[/dispmath] Analogno možemo izraziti i preostale stranice trougla
[dispmath]b=r\cdot\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}\right)\\
c=r\cdot\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}\right)[/dispmath] Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo da je
[dispmath]a+b+c=r\cdot\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}\right)+r\cdot\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}\right)+r\cdot\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}\right)=2r\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}\right)[/dispmath] pa je
[dispmath]s=\frac{a+b+c}{2}=r\left(\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}\right)\iff r=\frac{s}{\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}}[/dispmath] Ako u formulu za izračunavanje površine trougla pomoću poluprečnika upisane kružnice, zamenimo dobijeni izraz jednak tom poluprečniku, dobićemo traženu formulu za izračunavanje površine trougla
[dispmath]P=s\cdot r=s\cdot\frac{s}{\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}}=\frac{s^2}{\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}}=\frac{s^2}{\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}}=s^2\cdot\mathrm{tg}\:\frac{\alpha}{2}\cdot\mathrm{tg}\:\frac{\beta}{2}\cdot\mathrm{tg}\:\frac{\gamma}{2}.[/dispmath] U pretposlednjem koraku je korišćena jednakost
[dispmath]\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}=\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}[/dispmath] koja je tačna ako je [inlmath]\alpha+\beta+\gamma=\pi[/inlmath].
Dokazaćemo tu jednakost a u dokazu koristimo i činjenicu da je [inlmath]\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)[/inlmath], slično kao što je to i charliecale koristio.
[dispmath]\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}=\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}+\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}=\left(\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)\right)\cdot\left(\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{1}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}\right)=[/dispmath][dispmath]=\left(\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)\right)\cdot\frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}=\left(\cos\frac{\gamma}{2}\right)\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\cancel{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}+\cancel{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}}{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=\mathrm{ctg}\:\frac{\alpha}{2}\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\beta}{2}\cdot\mathrm{ctg}\:\frac{\gamma}{2}.[/dispmath]