MATEMANIJA

Prijemni ispit FON 2024.
14. zadatak

Zadatak glasi:

Dati su valjak i pravilan tetraedar jednakih zapremina. Ako je dužina poluprečnika osnove valjka jednaka dužini poluprečnika kruga upisanog u jednu od strana tetraedra, onda je odnos dužina visine valjka i visine tetraedra jednak:

Pa je ponudjeno:
[inlmath]\displaystyle A:\;\frac{2\sqrt3}{3\pi},\quad[/inlmath][inlmath]\displaystyle B:\;\frac{\sqrt3}{\pi},\quad[/inlmath][inlmath]\displaystyle C:\;\frac{\sqrt2}{\pi},\quad[/inlmath][inlmath]\displaystyle D:\;\frac{\sqrt6}{2\pi},\quad[/inlmath][inlmath]\displaystyle E:\;\frac{\sqrt3}{3\pi}[/inlmath]

Dakle, traži se odnos visine valjka i visine tetraedra.

Rešavam zadatak nakon što izjednačim [inlmath]R[/inlmath] sa [inlmath]A[/inlmath], gde je [inlmath]A[/inlmath] jednako sa [inlmath]2R\sqrt3[/inlmath], i rešavanje ide ovako:
[dispmath]H_p=\frac{R^2\pi}{V}\\
H_t=\frac{A^2\sqrt3}{4V}\cdot\frac{1}{3}\\
\frac{R^2\pi\cdot12V}{V\cdot A^2\sqrt3}\\
=\frac{3\cdot4\cdot R^2\pi}{4\cdot3\cdot R^2\sqrt3}\\
=\frac{\pi}{\sqrt3}[/dispmath] Sad, mene ovde samo buni sam tekst zadatka.

Ako tražimo odnos visine valjka i visine tetraedra, zar ne treba tačan odgovor, koji je ovde rešenje pod [inlmath]B)[/inlmath], da bude zapisan obrnuto, kao [inlmath]\pi:\sqrt3[/inlmath], a ne [inlmath]\sqrt3:\pi[/inlmath]?

Ili ovo u zadacima nije bitno?

Naravno da je bitno. Tačan odgovor je pod B.
Negde si pogrešio. Pošto koristiš nestandardno obeležavanje ( koristiš slovo [inlmath]A[/inlmath] ) a nisi napisao šta si sa [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] obeležio, i zašto je [inlmath]A[/inlmath] jednako sa [inlmath]2R\sqrt3[/inlmath], nije moguće odmah ( bez detaljnije analize navedenog postupka ) uočiti grešku.

Ipak sam proverio postupak.
Nisu tačne ove dve jednakosti: [inlmath]\quad H_{p} = \frac{R^2 \pi}{V} \quad[/inlmath] i [inlmath]\quad H_{t} = \frac{A^2 \sqrt{3}}{4V} \cdot \frac{1}{3}.[/inlmath]
Razlomci na desnim stranama treba da budu recipročni.

U pravu si, na najbanalnijem mestu sam pogresio...

Hvala na ispravci.