MATEMANIJA

Neka tacka [inlmath]D[/inlmath] hipotenuze [inlmath]AB[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath] pripada simetrali pravog ugla. Ako je [inlmath]AD=p[/inlmath] i [inlmath]BD=q[/inlmath], izracunati duzine svih visina trougla [inlmath]ABC[/inlmath].
Ja sam ovako poceo, ali kako dalje: [inlmath]p:q=b:a[/inlmath] Sta dalje raditi?

[inlmath]p:q=b:a[/inlmath] ti je jedna jednačina s dve nepoznate, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Drugu jednačinu po [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] dobijaš iz uslova [inlmath]a^2+b^2=c^2[/inlmath], pri čemu znaš da je hipotenuza [inlmath]c[/inlmath] jednaka [inlmath]c=p+q[/inlmath].
Iz ovog sistema od dve jednačine s dve nepoznate nađeš [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Dobićeš, naravno, rešenja u opštim brojevima, tj. u zavisnosti od zadatih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath].

Pošto je [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] pravougli trougao s pravim uglom u temenu [inlmath]C[/inlmath], to će visine [inlmath]h_a[/inlmath] i [inlmath]h_b[/inlmath] biti jednake stranicama [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath], respektivno. Pošto su ti katete poznate, možeš odrediti i visinu nad hipotenuzom, [inlmath]h_c[/inlmath]. Ako ne znaš formulu za visinu nad hipotenuzom u zavisnosti od kateta, možeš je odrediti iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ACC_1[/inlmath] (ili trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle CBC_1[/inlmath], potpuno svejedno), gde je [inlmath]C_1[/inlmath] podnožje visine [inlmath]h_c[/inlmath].