MATEMANIJA

Tacka [inlmath]D[/inlmath], [inlmath]E[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] pripadaju redom stranicama [inlmath]AC[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath], pri cemu je [inlmath]DE[/inlmath] paralelno sa [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]DF[/inlmath] paralelno sa [inlmath]BC[/inlmath]. Ako su [inlmath]P_1[/inlmath] i [inlmath]P_2[/inlmath] povtsine trougla [inlmath]ADF[/inlmath] i [inlmath]DEC[/inlmath], izracunati povrsinu [inlmath]FBE[/inlmath].

Trouglovi [inlmath]ADF[/inlmath] i [inlmath]DEC[/inlmath] su slicni, pa je [dispmath]\frac{P_1}{P_2}=\left(\frac{DE}{AF}\right)^2=\left(\frac{FB}{AF}\right)^2[/dispmath]
Kako bi se dalje radilo?

Zapravo je
[dispmath]\frac{P_{\color{red}2}}{P_{\color{red}1}}=\left(\frac{DE}{AF}\right)^2=\left(\frac{FB}{AF}\right)^2[/dispmath]
(razlika u indeksima [inlmath]P_1[/inlmath] i [inlmath]P_2[/inlmath])
ali to ti za ovaj zadatak nije ni potrebno.


Osnovicu trougla [inlmath]\triangle AFD[/inlmath] (tj. stranicu [inlmath]FD[/inlmath]) označimo sa [inlmath]a_1[/inlmath], a njegovu visinu sa [inlmath]h_1[/inlmath]; osnovicu trougla [inlmath]\triangle DEC[/inlmath] (tj. stranicu [inlmath]EC[/inlmath]) označimo sa [inlmath]a_2[/inlmath], a njegovu visinu sa [inlmath]h_2[/inlmath]. Uočimo to da je osnovica trougla [inlmath]\triangle FBE[/inlmath] (tj. stranica [inlmath]BE[/inlmath]) jednaka [inlmath]a_1[/inlmath], dok je njegova visina jednaka [inlmath]h_2[/inlmath].
Zbog sličnosti trouglova [inlmath]\triangle AFD[/inlmath] i [inlmath]\triangle DEC[/inlmath] (koju si već uočio) biće:
[dispmath]\frac{a_1}{a_2}=\frac{h_1}{h_2},\quad\frac{P_1}{P_2}=\frac{a_1^2}{a_2^2}[/dispmath]
Ovo je sve što ti je potrebno da možeš sada lako da odrediš površinu trougla [inlmath]\triangle FBE[/inlmath]. Treba da dobiješ rezultat [inlmath]P_{\triangle FBE}=\sqrt{P_1P_2}[/inlmath].