MATEMANIJA

A kako bi se ovaj zadatak resio: Ako tacka dodira upisanog kruga i hipotenuze pravouglog trougla deli hipotenuzu na 2 dela duzine [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]12[/inlmath], onda razlika kateta tog trougla iznosi?

Si nacrtao sliku? Sa nje se skoro sve odmah vidi.
Spojiš centar upisane kružnice s tačkama u kojima ista dodiruje stranice trougla. Pri tome, uočiš da su te duži normalne na odgovarajuće stranice trougla.
Spojiš centar kružnice sa sva tri temena trougla. Uočiš podudarnost odgovarajućih trouglova koje si time dobio i dalje je prilično očigledno...

A kako znamo da su te duzi (poluprecnici) normalne na odgovarajucu stranicu?

Zato što stranice trougla predstavljaju tangente na upisanu kružnicu.
A poluprečnik kružnice koji spaja centar te kružnice i tangentu na tu kružnicu – normalan je na tu tangentu.

---

Ako treba dokaz da je tangenta normalna na poluprečnik kružnice koji sadrži tačku dodira kružnice s tangentom – pretpostavimo suprotno, tj. da tangenta nije normalna na taj poluprečnik, što znači da je tangenta normalna na pravac nekog drugog poluprečnika te kružnice, tj. nekog poluprečnika koji ne sadrži tačku dodira kružnice s tangentom. Tačka preseka tangente i pravca tog nekog drugog poluprečnika (obeležimo je sa [inlmath]A[/inlmath]) biće van kružnice, pošto su sve tačke tangente van kružnice, izuzev one jedne u kojoj dodiruje kružnicu. Tačku dodira tangente i kružnice obeležimo sa [inlmath]B[/inlmath], a centar kružnice sa [inlmath]O[/inlmath]. Pošto je ugao [inlmath]\angle OAB[/inlmath] prav, sledi da je trougao [inlmath]\triangle OAB[/inlmath] pravougli, sa katetama [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath] i hipotenuzom [inlmath]OB[/inlmath]. Pošto svaka od kateta mora biti kraća od hipotenuze, sledi i da je [inlmath]OA[/inlmath] kraće od [inlmath]OB[/inlmath], što bi značilo, pošto tačka [inlmath]B[/inlmath] pripada kružnici, da tačka [inlmath]A[/inlmath] mora biti unutar kružnice, a već smo zaključili da je tačka [inlmath]A[/inlmath] izvan kružnice. Kontradikcija.

Kako da dobijem poluprečnik upisane kružnice u ovom zadatku? On mi fali da bih izračunala katete.

Nije ti potreban poluprečnik upisane kružnice. Nisu ti potrebne ni katete, već se traži samo njihova razlika. Gore sam napisao uputstvo.