MATEMANIJA

Zdravo, jel moze neko da mi proveri da li sam zadatak tacno resila:
[dispmath]f(x)=\frac{x}{1+x^3}[/dispmath][dispmath]g(x)=x\log(1+x)[/dispmath]
Za ove dve funkcije treba da napisem Maklorenov red i da ispitam njegovu konvergenciju.

Za prvu sam napisala red funkcije
[dispmath]\frac{1}{1+x^3}[/dispmath]
i pomnozila ga sa [inlmath]x[/inlmath]. Zanima me da li smem tako [inlmath]x[/inlmath] da izbacim i da ga pomnozim kasnije. I onda, sa obzirom da opsti clan reda ne tezi nuli, sam dobila da red divergira.

Analogno sam uradila i za funkciju [inlmath]g[/inlmath].

Jel to u redu?

Pre svega pozdrav, @besnaglista za tvoj prvi post

Ovo važi uvek:
[dispmath](1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}x^n\qquad |x|<1\qquad\alpha\in\mathbb{R}[/dispmath]

besnaglista je napisao:I onda, sa obzirom da opsti clan reda ne tezi nuli, sam dobila da red divergira.

Opšti član ovog reda, tj. razvoja funkcije [inlmath]f(x)=(1+x)^\alpha[/inlmath] i te kako teži nuli, ali samo za određene vrednosti [inlmath]x[/inlmath] koje su gore navedene. Uopšte rečeno:
Razvoj funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u Maklorenov (McLaurin) red važi ako i samo ako (akko) red konvergira i funkcija je definisana za dato [inlmath]x[/inlmath].

Idemo dalje:

besnaglista je napisao:Zanima me da li smem tako [inlmath]x[/inlmath] da izbacim i da ga pomnozim kasnije

Naravno da se to sme.

Na kraju, kako da proverimo da li je zadatak tačno rešen kada rešenja tj rezultata nema

Hvala na dobrodoslici

Ovako, bila sam malo skrta u prvoj poruci, tj nisam moj ceo postupak napisala.

Funkciju [inlmath]\frac{x}{1+x^3}[/inlmath] sam napisala kao [inlmath]x\frac{1}{1+x^3}[/inlmath], gde znam da red od [inlmath]\frac{1}{1+x^3}[/inlmath] je [inlmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n}[/inlmath]

i onda sam taj red pomnozila sa [inlmath]x[/inlmath] i dobila da je [inlmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n+1}[/inlmath] red od gore navedene funkcije.
e sad opsti clan tog reda ne tezi nuli, pa zato red ne konvergira.

jel to tacan postupak?

Dobro, imaš u ovom sada postu neke greške u kucanju, ako želiš ispraviću Latex. Ali ovo:

besnaglista je napisao:e sad opsti clan tog reda ne tezi nuli, pa zato red ne konvergira.

Pa kako ne teži nuli? Ja ti napisah da je bitno za koje [inlmath]x[/inlmath].
A i funkcija, kada je definisana? Za koje [inlmath]x[/inlmath]?
Mada sam stvarno sada umoran, evo ako želiš nastavljamo jer vidim da si tu.

Evo da dovršim odgovor.
Postupak ti je sasvim ispravan i rezultat tačan. Dobijeni razvoj:
[dispmath]f(x)=x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n}[/dispmath]
važi za [inlmath]|x|<1[/inlmath] jer tu red konvergira (i to apsolutno, kao geometrijski red) a i funkcija je definisana.
Inače, poluprečnik konvergencije reda:
[dispmath]\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}x^n[/dispmath]
Iznosi [inlmath]R=1[/inlmath]
Korigovao sam Latex kod u tvom postu.

Evo evo, dodje iz dupeta u glavu, opsti clan tezi nuli za [inlmath]|x|<1[/inlmath], i red takodje konvergira za [inlmath]|x|<1[/inlmath].

Da odgovorim na tvoje pitanje, nemam neko fiksno [inlmath]x[/inlmath], funkcija je definisana za svako osim za [inlmath]-1[/inlmath]. Tako da je cini mi se dovoljno napisati za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] red konvergira, sto ti rece, poluprecnik konvergencije.

Hvala ti na pomoci