MATEMANIJA

Poštovani,
Nisam sigurna gde ovaj zadatak spada ,pa sam napravila novu temu. Nisam sigurna kako da počnem zadatak.Zadataka glasi:
Primenjujući Lagranžovu teoremu,pokazati za svako pozitivno [inlmath]x[/inlmath] važi nejednakosti [inlmath]\ln(x+1)<x[/inlmath] ispitati da li nejednakost važi za [inlmath]-1<x<0[/inlmath] ?
Unapred hvala

Evo, za [inlmath]x>0[/inlmath].

Posmatrajmo funkciju [inlmath]f(x)=\ln(x+1)-x[/inlmath].

Prema Lagranžovoj teoremi, za funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath], neprekidnu na intervalu [inlmath][a,b][/inlmath] i diferencijabilnu na intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath], mora da postoji tačka [inlmath]c[/inlmath], iz intervala [inlmath](a,b)[/inlmath], takva da je:
[dispmath]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)[/dispmath]
Uzmimo interval [inlmath](0,x)[/inlmath]. Tada mora da postoji tačka [inlmath]c_1[/inlmath] iz tog intervala takva da je:
[dispmath]\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(c_1)[/dispmath][dispmath]\frac{\ln(x+1)-x}{x}=f'(c_1)[/dispmath]
Sada uzmimo interval [inlmath](x,2x)[/inlmath]. Tada mora da postoji tačka [inlmath]c_2[/inlmath] iz tog intervala, takva da je:
[dispmath]\frac{f(2x)-f(x)}{2x-x}=f'(c_2)[/dispmath][dispmath]\frac{\ln(2x+1)-\ln(x+1)-x}{x}=f'(c_2)[/dispmath]
Lako se pokazuje da izvod funkcije [inlmath]f[/inlmath] predstavlja opadajuću funkciju za [inlmath]x>0[/inlmath]. Naime,
[dispmath]f''(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}<0[/dispmath]
Otuda sledi da [inlmath]f'(x)[/inlmath] monotono opada, i da je [inlmath]f'(c_1)>f'(c_2)[/inlmath] (s obzirom na to da je [inlmath]c_2>c_1[/inlmath]).
Tako dobijamo:
[dispmath]\frac{\ln(x+1)-x}{x}>\frac{\ln(2x+1)-\ln(x+1)-x}{x}[/dispmath]
Kako je [inlmath]x>0[/inlmath], možemo nejednakost pomnožiti sa [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]\ln(x+1)-x>\ln(2x+1)-\ln(x+1)-x[/dispmath][dispmath]\ln(x+1)^2>\ln(2x+1)[/dispmath][dispmath](x+1)^2>2x+1[/dispmath][dispmath]x^2+2x+1>2x+1[/dispmath]
Zadnja nejednakost svakako važi za [inlmath]x\neq 0[/inlmath], i time je prvi deo dokazan.

Za [inlmath]-1<x<0[/inlmath]:
Primenimo Lagranžovu teoremu na podinterval zadatog intervala [inlmath]\left(x,\frac{x}{2}\right)[/inlmath].
[dispmath]\frac{f\left(\frac{x}{2}\right)-f(x)}{\frac{x}{2}-x}=f'(c_1)[/dispmath]
Primenimo Lagranžovu teoremu na podinterval [inlmath]\left(\frac{x}{2},0\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{f(0)-f\left(\frac{x}{2}\right)}{0-\frac{x}{2}}=f'(c_2)[/dispmath]
Već smo pokazali da prvi izvod ove funkcije monotono opada, pa kako je [inlmath]c_2>c_1[/inlmath], onda je [inlmath]f'(c_1)>f'(c_2)[/inlmath]:
[dispmath]2\frac{f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)}{x}>2\frac{f\left(\frac{x}{2}\right)}{x}[/dispmath]
Množenjem sa negativnim [inlmath]x[/inlmath] menja se znak:
[dispmath]f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)<f\left(\frac{x}{2}\right)[/dispmath][dispmath]f(x)<2f\left(\frac{x}{2}\right)[/dispmath][dispmath]\ln(x+1)-x<2\left(\ln\left(\frac{x}{2}+1\right)-\frac{x}{2}\right)[/dispmath][dispmath]\ln(x+1)<\ln\left(\frac{x}{2}+1\right)^2[/dispmath][dispmath]x+1<\frac{x^2}{4}+x+1[/dispmath]
Poslednja nejednakost je ispunjena na zadatom intervalu, i time je odgovoreno i na drugo pitanje zadatka.