MATEMANIJA

Pozz... prije nekih 3-4 mjeseca poceo sam raditi zadatke u kojima se zahtijeva nesto dokazati itd... e sad sam zapeo na ovom zadatku i nikako ne mogu da ga rijesim. Zadatak je iz zbirke adem huskic za prvi razred gimnazije. Pokusao sam primjeniti AG nejednakost ali ne ide. Ima li iko da je voljan pomoci
[dispmath]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1[/dispmath] imam jos da je [inlmath]a,b,c>0[/inlmath] i da je [inlmath]abc=1[/inlmath]

Ispravio sam ti Latex. Trudio si se i zato primedbi nemam.
Kada pišeš Latex formulu, stavi je između dva taga, imaš ih gore, npr sve ovo tvoje sam obeležio (formulu) i kliknuo na tab "InlineMath".
Ostalo si dobro ukucao.
Pogledaj obavezno još jednom Latex uputstvo.
Ali od početka. Pa da rešimo ovo.

@elektricar,
molim i za potvrdu da li je dobro prepravljen zadatak, tj da li u Latexu izgleda kao i kod tebe?
To je neophodno zbog svih nas na forumu. Proveri još jednom da li si ti dobro nakucao a ja dobro prepravio. Tačka 13. pravilnika foruma Matemanija!

hvala puno desideri ponovo cu procitati uputstvo, zadatak je tacno napisan

Dobro, sve jasno.
Ali mi nedostaje formulacija zadatka.
Da li treba dokazati da je gornja nejednakost tačna ili nešto drugo?

Neka su [inlmath]a,b,c>0[/inlmath] i [inlmath]abc=1[/inlmath]. Dokazati da vrijedi nejednakost. Vjerovatno treba dokazati da je ova gore nejednakost tacna

Ako bi pokazao da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath], tada bismo imali i [inlmath]\displaystyle\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{c}{a+b+c}[/inlmath] (pri uslovu [inlmath]abc=1[/inlmath]). Odatle je tvrdjenje zadatka trivijalno. Da bi pokazao prvu spomenutu nejednakost iskoristi rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/inlmath], kao i aritmeticko-geometrijsku nejednakost.

Evo još jednog načina za ovaj drugi deo, bez korišćenja AG-nejednakosti:
[dispmath]\begin{align}
a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4&=a^3(a-b)-b^3(a-b)+a^2b^2\\
&=\left(a^3-b^3\right)(a-b)+a^2b^2\\
&=(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+a^2b^2
\end{align}[/dispmath]
pa pošto izraz [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] ne može biti negativan, sledi da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge a^2b^2[/inlmath].

Onomatopeja hvala na objasnjenju, samo me jos zanima kako je daniel dobio da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] vece od [inlmath]a^2b^2[/inlmath] i da li se moze primjeniti AG nejednakost na [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4][/inlmath] posto se pojavlje je "minus"

elektricar je napisao:Onomatopeja hvala na objasnjenju, samo me jos zanima kako je daniel dobio da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] vece od [inlmath]a^2b^2[/inlmath]

Za ono što sam ja radio možeš slobodno pitati mene. Dakle, dobio sam da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4=(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+a^2b^2[/inlmath], pokazao sam kako. E sad, na desnoj strani imamo dva sabirka, jedan je [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] a drugi je [inlmath]a^2b^2[/inlmath]. Ovaj prvi sabirak je uvek nenegativan (tj. ili pozitivan ili nula), što znači da desna strana jednakosti mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath] (jer predstavlja zbir [inlmath]a^2b^2[/inlmath] i neke nenegativne vrednosti).
A pošto je desna strana veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath], samim tim i leva strana mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath].
Leva strana je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] i ona mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath].
Dakle, [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge a^2b^2[/inlmath].

Zašto je izraz [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] nenegativan – zato što predstavlja proizvod dva nenegativna broja. Faktor [inlmath](a-b)^2[/inlmath] mora biti nenegativan jer predstavlja kvadrat realnog broja. Faktor [inlmath]\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] je takođe nenegativan jer predstavlja količnik [inlmath]\displaystyle\frac{a^3-b^3}{a-b}[/inlmath], gde su brojilac i imenilac uvek istog znaka.

---

Zapravo, sad vidim da sam već kad sam došao do koraka [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4=\left(a^3-b^3\right)(a-b)+a^2b^2[/inlmath] mogao da zaključim da je desna strana (a samim tim i leva) veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath], jer je sabirak [inlmath]\left(a^3-b^3\right)(a-b)[/inlmath] svakako nenegativan (proizvod dve vrednosti istog znaka).