MATEMANIJA

Trebala mi je pomoc oko sledeceg zadatka;
Dokazite da je:
a) [inlmath]-(-x)=x[/inlmath]
b) [inlmath]x\cdot0=0\cdot0=0[/inlmath]
E ja nemam ideju uopste kako se radi ovo dokazivanje, znam samo da bi trebalo da koristim asocijativnost, komutativnost i slicno. Svaka pomoc je dobrodosla

Pozdrav! Ako znamo da je suprotan element [inlmath]-x[/inlmath] broju [inlmath]x[/inlmath] definisan preko [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], onda možemo umesto [inlmath]x[/inlmath] tu da napišemo [inlmath]-x[/inlmath], pa imamo
[dispmath]-x+\bigl(-(-x)\bigr)=0\tag1[/dispmath] Iskoristimo jednakost [inlmath]x=x[/inlmath] i saberimo je sa [inlmath](1)[/inlmath], pa ćemo dobiti:
[dispmath]x+(−x)+\bigl(−(−x)\bigr)=x+0\iff0+\bigl(-(-x)\bigr)=x+0\iff-(-x)=x[/dispmath] Tu smo jasno koristili asocijativnost, pa "združili" [inlmath]x+(-x)[/inlmath] i primenili [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], kao i to da je [inlmath]0[/inlmath] neutralni element za sabiranje.

---

U drugom primeru ponovo iskoristimo [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], prateći i to da je:

• [inlmath]1[/inlmath] neutralni element za množenje;
• [inlmath]0[/inlmath] neutralni element za sabiranje.

Tada imamo (uz primene distributivnosti i asocijativnosti):
[dispmath]x+(-x)=0\iff x\cdot1+(-x)=0\iff x\cdot(0+1)+(-x)=0\iff\\
\iff x\cdot0+x\cdot1+(-x)=0\iff x\cdot0+x+(-x)=0\iff x\cdot0=0[/dispmath] Ako malo razmisliš lako možeš da dođeš do konačnog [inlmath]x\cdot0=0\cdot0=0[/inlmath]

Sada mi je jasnije, samo koji je postupak kada u zadatku treba da primenim neku drugu osobinu npr:
[inlmath]x\cdot(-y)=(-x)\cdot y\\
(-x)\cdot(-y)=x\cdot y\\
x\le0\;\Longrightarrow\;-x\ge0\\
x\le y\;\Longrightarrow\;-x\ge-y\\
x\le0\;\land\;y\le0\;\Longrightarrow\;x\cdot y\ge0\\
0<1[/inlmath]
Ps, znam da nije dozvoljeno vise zadataka u jedan post ali mi je samo potrebno na koji nacin da rijesavam zadatke u kojima je potrebna primjena razlicitih osobina. Bio bih zahvalan kada bi mi jos ovo pojasnio

Nije dozvoljeno, ali pošto su svi vezani za istu temu manje-više daću ti samo kratke smernice za nekoliko tvrđenja, tim redom kojim si ih navodio.

• Probaj da dokažeš da je [inlmath]x\cdot(-y)=-(xy)[/inlmath] i da je [inlmath](-x)\cdot y=-(xy)[/inlmath], što implicira [inlmath]x\cdot(-y)=(-x)\cdot y[/inlmath];
• Prvo dokaži [inlmath]0\cdot y=0[/inlmath] (dokaz: [inlmath]0\cdot y=0\cdot y+0=0\cdot y+\bigl(0\cdot y+(-0\cdot y)\bigr)=(0\cdot y+0\cdot y)+(-0\cdot y)=(0+0)\cdot y+(-0\cdot y)=0\cdot y+(-0\cdot y)=0[/inlmath], gde se opet srećemo sa suprotnim elementom [inlmath]-x[/inlmath], ali i sa asocijativnošću i distributivnošću). Tada imaš: [inlmath](-x)(-y)=(-x)(-y)+0=(-x)(-y)+0\cdot y=(-x)(-y)+(-x+x)\cdot y=\cdots[/inlmath] ;
• Pođi od [inlmath]x\le0[/inlmath]. Potom imaš [inlmath]x+(-x)\le0+(-x)[/inlmath] i eto, primenom [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], imaćeš [inlmath]0\le -x\iff-x\ge0[/inlmath].

Kao što vidiš, iste osobine se stalno vrte, pa uvek koristiš asocijativnost, distributivnost itd. Ostala tvrđenja su slična, uglavnom, a kako je [inlmath]0<1[/inlmath] nešto zanimljiviji dokaz od prethodnih, ukazao bih da je [inlmath]1=1^2[/inlmath]. Ako dokažeš da za svako realno [inlmath]x\ne0[/inlmath] važi [inlmath]x^2>0[/inlmath], onda si dokazao i [inlmath]0<1=1^2[/inlmath].

---

Ukoliko ne budeš znao da dokažeš neka druga tvrđenja, zamoliću te da otvoriš posebnu temu na forumu, pri čemu se nadam da ćeš sledećeg puta, ako sam uspeo da ti pojasnim ove stvari, donekle odmaći u postupku

Vazi, hvala ti punoo

Samo pitanje: Kako da znam sta kada da radim, npr za ova dva prva primjera koja sam ti poslao drugi put. U drugom, zasto racunam [inlmath]y\cdot0[/inlmath] i da li je isti postupak za prvi koji sam ti poslao u odgovoru. Jasan mi je postupak i sve samo mi nije jasno kako da pocnem ovakve zadatke, izuzimajuci pocetna dva.

Dokazuješ [inlmath]0\cdot y=0[/inlmath], zato što je [inlmath]0\cdot y=0[/inlmath] pomoćni dokaz - lema. Ovakve zadatke počinješ zavisno od tvrđenja koje dokazuješ - kreće se ili od već poznatih jednakosti koje ne dokazujemo, poput [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], a ponekad se može krenuti čak i od [inlmath]0=0[/inlmath] - sve zavisi od toga šta želiš da dokažeš i od nivoa imaginacije koji poseduješ.

Kako bih krenuo sa prvim primjerom koji sam poslao. Pokusavam koristeci vec poznatu jednakost ali ne ide..

Već ti je pružena i veća pomoć nego što treba, budući da ti je ionako bilo progledano kroz prste za tačke 10. i 12. Pravilnika.