MATEMANIJA

Dobar dan, gospodo!

Imam pitanje u vezi definicije relacije (ocigledno)...Ja cu napisati definiciju iz Kadelburgove kniige "Analiza 1" koja glasi:

"Neka su X i Y skupovi i [inlmath]\rho \subset X \ \times \ Y[/inlmath]. Tada zakljucujemo da je [inlmath]\rho[/inlmath] (binarna)relacija iz [inlmath]X \ \text{u} \ Y[/inlmath]. Ako je [inlmath]X=Y[/inlmath], kazemo da je [inlmath]\rho[/inlmath] (binarna) relacija na skupu [inlmath]X[/inlmath].Umesto [inlmath](x,y) \in \rho[/inlmath] koristimo oznaku [inlmath]x \ \rho \ y[/inlmath].

Sada slede pitanja...Ako je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija elemenata iz skupa [inlmath]X \ \text{i} \ Y[/inlmath] kako uredjeni parovi mogu biti elementi neke operacije??? Odnosno da pojasnim pitanje (koje je po mom misljenju sasvim jasno ali mislim da ne sagledavamo pojam na isti nacin, te ce sigurno doci do zabune i nerazumevnja), kako je relacija [inlmath]\rho[/inlmath] koju ja u izrazu [inlmath]3+5[/inlmath] tretiram kao znak [inlmath](+) plus[/inlmath] moze biti skup ili podskup ili sta vec, sto je jasno pokazano ovde...Izvlacim deo negde sa kraja definicije [inlmath](x,y) \in \ \rho[/inlmath]...Prosto mi je nejasno i konfuzno, neke stvari kasnije moram da shvatim ali mi sama definicija otezava, i celu temu cini apstraktnom do te mere da vise nisam siguran smem li ista uzeti za primer kad neke zakonitosti zelim da "proverim\dokazem" i slicno...



Mozda ja ne smem [inlmath]\rho[/inlmath] tretirati kao znak[inlmath]+[/inlmath] u izrazu [inlmath]3+5[/inlmath], a ako je to slucaj...Moze li neko "zaglupiti" definiciju da bih shvatio sta [inlmath]\rho[/inlmath] predstavlja...Voleo bih da ovo nije slucaj, Boze pomozi...

Najbolje je razumeti suštinu na konkretnim primerima kao što si ti pokušao:

Relacijama (kao što samo ime kaže) se definiše neki odnos među elementima nekih skupova.
Na primer, relacija [inlmath]\lt[/inlmath] (manje) na skupu [inlmath]\mathbb R[/inlmath] nam govori o nekom poretku u skupu realnih brojeva. Jednakost ([inlmath]=[/inlmath]) je još jedna relacija na [inlmath]\mathbb R[/inlmath] koja nam govori kada su dva broja jednaka. Slične su i relacije [inlmath]\gt[/inlmath], [inlmath]\le[/inlmath], [inlmath]\ge[/inlmath] i [inlmath]\ne[/inlmath] (za sve navedene relacije postoje analogne relacije na skupovima [inlmath]\mathbb N[/inlmath], [inlmath]\mathbb Z[/inlmath] i [inlmath]\mathbb Q[/inlmath], ali ja sam samo dao konkretan primer za [inlmath]\mathbb R[/inlmath]).
U geometriji imamo neke druge relacije. Na primer binarna relacija [inlmath]\parallel[/inlmath] nam govori kada su dve prave paralelne, dok nam [inlmath]\bot[/inlmath] govori kada su dve prave normalne. To su binarne relacije definisane na skupu svih pravih u prostoru. I u geometriji imamo relaciju jednakosti (naravno, za svaku klasu geometrijskih objekata po jednu relaciju; jednakost prava nije isto što i jednakost tačaka ili jednakost trouglova).
U teoriji skupova, [inlmath]\in[/inlmath] i [inlmath]\subset[/inlmath] se mogu shvatiti kao relacije (uz malu dodatnu opreznost o kojoj neću sada..). Ovo rešava drugo pitanje koji si postavio
Kakve sad veze relacije imaju za Dekartovim proizvodima. Pa pojam Dekartovog proizvoda je samo iskorišćen da bi se strogo formalno definisao pojam relacije. Da bi bilo jasno, posmatrajmo relaciju [inlmath]\le[/inlmath] na [inlmath]\mathbb N[/inlmath]. Skup [inlmath]\mathbb N \times \mathbb N[/inlmath] čine svi uređeni parovi prirodnih brojeva tj.
[dispmath]\mathbb N \times \mathbb N = \left\{ \begin{matrix} (1, 1), & (1, 2), & (1,3), & (1,4), & \dots \\ (2, 1), & (2, 2), & (2,3), & (2,4), & \dots \\ (3, 1), & (3, 2), & (3,3), & (3,4), & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{matrix} \right\}.[/dispmath]
Relacija [inlmath]\lt[/inlmath] je samo jedan podskup ovog skupa:
[dispmath]\lt = \left\{ \begin{matrix} (1, 2), & (1,3), & (1,4), & \dots \\ & (2,3), & (2,4), & \dots \\ & & (3,4), & \dots \\ & & & \ddots \end{matrix} \right\}.[/dispmath]
Kao što si i napisao [inlmath]m \lt n[/inlmath] po definiciji znači da [inlmath](m,n)\in \lt[/inlmath].

Sve navedene relacije su bile podskupovi od [inlmath]X\times X[/inlmath] za neki skup [inlmath]X[/inlmath]. Najbitniji primeri relacija koje su podskupovi od [inlmath]X\times Y[/inlmath], za neke skupove [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath], jesu funkcije. Funkcije su relacije takve da je svaki element iz domena u relaciji sa tačno jednim elementom iz kodomena. Domen i kodomen su respektivno prvi i drugi skup u izrazu [inlmath]X\times Y[/inlmath]. Činjenicu da je funkcija [inlmath]f[/inlmath] poskup od [inlmath]X\times Y[/inlmath] označavamo sa [inlmath]f \colon X \rightarrow Y[/inlmath], a činjenicu da je [inlmath]\left(x,y\right)\in f[/inlmath] ne označavamo sa [inlmath]x f y[/inlmath] (kao što je to slučaj kod ostalih relacija) nego sa [inlmath]f(x)=y[/inlmath].

Za primer funkcije, uzećemo funkciju kvadriranja na skupu prirodnih brojeva [inlmath]f\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N[/inlmath] definisanu sa [inlmath]f(n)=n^2[/inlmath] (u ovom primeru i domen i kodomen su istiu skupovi). Sledi da je
[dispmath]f=\left\{\left(1,1\right),\left(2,4\right),\left(3,9\right), \left(4,16\right), \dots\right\}\subset \mathbb N \times \mathbb N[/dispmath]

Sada dolazimo do operacija. Binarne operacije su funkcije koje uređenim parovima prirdružuju neki element, tj. binarne operacije su funkcije tipa [inlmath]X\times Y \rightarrow Z[/inlmath], za neke skupove [inlmath]X,Y[/inlmath] i [inlmath]Z[/inlmath] (primetimo da to znači da su takve funkcije neki podkupovi skupa [inlmath]\left(X\times Y\right)\times Z = X \times Y \times Z[/inlmath]). Ako je [inlmath]B[/inlmath] jedna binarna operacija, tada činjenicu da je [inlmath]B(x,y)=z[/inlmath] često označavamo sa [inlmath]x B y = z[/inlmath] (ovo je izvor zabune)
Primer jedne binarne operacije, jeste operacija sabiranja na skupu prirodnih brojeva [inlmath]+\colon \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow \mathbb N[/inlmath]. Kako su operacije funkcije, a funkcije relacije, a relacije pak skupovi, vidimo da je [dispmath]+ = \left\{ \begin{matrix} (1, 1,2), & (1, 2, 3), & (1,3, 4), & (1,4,5), & \dots \\ (2, 1,3), & (2, 2,4), & (2,3,5), & (2,4.6), & \dots \\ (3, 1,4), & (3, 2,5), & (3,3,6), & (3,4,7), & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{matrix} \right\}.[/dispmath]
Kao što sam napisao, činjenicu da je [inlmath]+(m,n)=s[/inlmath] zapisujemo kao [inlmath]m+n=s[/inlmath] (gledano u terminima teorije skupova to znači da [inlmath](m,n,s)\in +[/inlmath]).

Nadam se da će ovaj post malo razjasniti neke pojmove :)

---

Moram da istaknem da nisi dobro prepisao definiciju iz udžbenika. Ništa se ne zaključuje u definiciji, već se samo definišu novi pojmovi.

Hvala ti puno, na odgovoru!

U teoriji skupova, ∈ i ⊂ se mogu shvatiti kao relacije (uz malu dodatnu opreznost o kojoj neću sada..). Ovo rešava drugo pitanje koji si postavio
Kakve sad veze relacije imaju za Dekartovim proizvodima. Pa pojam Dekartovog proizvoda je samo iskorišćen da bi se strogo formalno definisao pojam relacije. Da bi bilo jasno, posmatrajmo relaciju ≤ na ℕ. Skup ℕ×ℕ čine svi uređeni parovi prirodnih brojeva tj.
Skup [inlmath]\mathbb N \times \mathbb N[/inlmath] čine svi uređeni parovi prirodnih brojeva tj.
[dispmath]\mathbb N \times \mathbb N = \left\{ \begin{matrix} (1, 1), & (1, 2), & (1,3), & (1,4), & \dots \\ (2, 1), & (2, 2), & (2,3), & (2,4), & \dots \\ (3, 1), & (3, 2), & (3,3), & (3,4), & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{matrix} \right\}.[/dispmath]
Relacija [inlmath]\lt[/inlmath] je samo jedan podskup ovog skupa:
[dispmath]\lt = \left\{ \begin{matrix} (1, 2), & (1,3), & (1,4), & \dots \\ & (2,3), & (2,4), & \dots \\ & & (3,4), & \dots \\ & & & \ddots \end{matrix} \right\}.[/dispmath]

Ali sam pretpostavio sam da ce mi odgovor ostaviti neke stvari, nerazjasnjene (iako je u neverovatnoj meri pojasnio neke stvari...Zaista su stvari manje apstraktne nakon ovoga)....

E sada..."Ako je [inlmath]X[/inlmath] proizvoljan skup i [inlmath]PX[/inlmath] njegov partitivni skup, relacije inkluzije [inlmath]\subset[/inlmath] je relacija poretka na [inlmath]PX[/inlmath] koji nije totalni (izuzev ako je skup [inlmath]X[/inlmath] prazan ili jednoclan)."

...Mada je meni sam pojam shvatanja na sta se odnosi recenica (i da to kasnije matematickim veznicima/oznakama i zapisem nije problem (sto je i evidentno u tom postu))...Ali ostaje apstraktno to kako je sama relacija inkluzije relacija poretka na [inlmath]PX[/inlmath]...Odnosno kako je relacija, na dva fronta relacija?! Ti si govorio da je relacija skup, tj. da pojedine stvari mogu biti dve stvari odjednom odnosno

Kako su operacije funkcije, a funkcije relacije, a relacije pak skupovi, vidimo da je...

a ovde se u ovom konkretnom primeru tvrdi da je relacija inkluzije izmedju [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]PX[/inlmath] ali da je na [inlmath]PX[/inlmath] relacija poretka, je ono sto me buni...

Da se razumemo, to jesu relacije koje su drugacije po svojim svojstvima te ne cudi da se moze desiti da one budu zadovoljene u istom slucaju...Banalizovacu ovo sto pisem nekim glupim primerom (u nadi da budem sto jasniji)...Npr: Ako studenti u menzi uzimaju pasulj, obavezno uz pasulj dobijaju i becku sniclu ... Petar je uzeo pasulj (nema potrebe da se ista naglasava oko becke snicle).. mozda ne objasnjava odnos relacije inkluzije-poretka ali nadam se da ce ovaj primer nekako pomoci da shvatis sta me buni (vise vuce na neku matematicku logiku, nego konkretnu temu o kojoj govorimo ali nadam se da ima smisla sta sam hteo reci)...


A sada cu uljudnije/formalnije probati da objasnim zabunu.... Kako ja znam, tj. na osnovu cega zakljucujem da je relacija inkluzije izmedju [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]PX[/inlmath] istovremeno i relacija poretka na [inlmath]PX[/inlmath]? Nemam ideju....