MATEMANIJA

Da li može mala pomoć? Imam problem sa zadatkom koji kaže da nađemo tačku koja se nalazi na jediničnoj sferi centriranoj u koordinatnom početku, takvu da je zbir kvadrata rastojanja nje od tačaka [inlmath](1,0,-1)[/inlmath] i [inlmath](0,-1,-1)[/inlmath] najmanji. Mi smo ovakve zadatke pretežno radili nameštanjem i samo jedan zadatak uradili preko Lagranžove funkcije, koja mi se čini da je ovde primenljiva, ali meni nije jasno kako da je iskoristim ovde.

Dakle, traži se minimum funkcije

[inlmath]f \left(x,y,z \right) =\left( x-1 \right) ^{2}+y^{2}+\left( z+1 \right) ^{2} + x ^{2} + \left( y+1 \right) ^{2}+\left( z+1 \right) ^{2}[/inlmath]

sa uslovom (dopustivim skupom)

[inlmath]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/inlmath]

Nakon jednostavnog sređivanja funkcije [inlmath]f[/inlmath] i korišćenjem uslova zadatak se svodi na određivanje minimuma funkcije

[inlmath]f \left(x,y,z \right) =-2x+2y+4z+6[/inlmath]

sa uslovom

[inlmath]F\left( x,y,z \right)= x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0[/inlmath]

Sada se može formirati Langranžova funkcija

[inlmath]L=f+λF[/inlmath]

tj.

[inlmath]L\left( x,y,z,λ \right)=-2x+2y+4z+6+λ \left( x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right)[/inlmath]

i tražimo minimum te funkcije bez ograničenja (uslova). Iako ova funkcija ima više primenjivih, parcijalni izvodi su jednostavni, a stacionarne tačke lako se određuju. Trebalo bi dobiti dve stacionarne tačke, a traženu odrediti direktnom proverom. Mislim da je to

[inlmath]M\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}, \right)[/inlmath]

MATEMANIJA

Traženje minimuma

Traženje minimuma

Re: Traženje minimuma