MATEMANIJA

Pozdrav, imam problem sa ovim zadatkom:

[dispmath]A = {\frac{n^3(m + 1)^m}{8(m^3 + 2n^3)(-m)^m} | n, m \in \mathbb{N}}[/dispmath]

Podelio sam ga na dva slučaja:
1. [inlmath]n^3(m + 1)^m < 8(m^3 + 2n^3)(-m)^m[/inlmath] [inlmath]\forall n \wedge \forall m = 2k, k \in \mathbb{N}[/inlmath], iz ovoga zaključujem da važi: [inlmath]0<{\frac{n^3(m + 1)^m}{8(m^3 + 2n^3)(-m)^m}} < 1[/inlmath] tj. [inlmath]supA \leq 1[/inlmath].
Odavde radim [inlmath]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3(2 + 1)^2}{8(2^3 + 2n^3)(-2)^2} = \frac{9}{64} < 1[/inlmath] za [inlmath]m = 2[/inlmath] pošto je uslov da m bude paran.


2. [inlmath]n^3(m + 1)^m > 8(m^3 + 2n^3)(-m)^m[/inlmath] [inlmath]\forall n \wedge \forall m = 2k + 1, k \in \mathbb{N}[/inlmath], ovde važi [inlmath]{\frac{n^3(m + 1)^m}{8(m^3 + 2n^3)(-m)^m}}< 0[/inlmath] tj. [inlmath]supA < 0[/inlmath]. Dalje, slično kao u prethodnom primeru tražim limes, i za [inlmath]m = 1[/inlmath] dobijam: [inlmath]\displaystyle \lim_{n \to +\infty}{\frac{n^3(m + 1)^m}{8(m^3 + 2n^3)(-m)^m}} =- \frac{1}{8}[/inlmath] što upada u uslov za supremum u ovom slučaju.

Odavde nisam siguran kako tačno da odredim infimum, min i max (u slučaju da postoje tj. da [inlmath]supA[/inlmath] i [inlmath]infA[/inlmath] pripadaju skupu).
Nemam rešenje zadatka.

Zadatak nisam rešavao, ali imam predlog koji ti možda može biti koristan. Pošto je[dispmath]A=(-1)^m\cdot(1+\frac{1}{m})^m\cdot\frac{n^3}{8(m^3+2n^3)} ,[/dispmath] ako iskoristimo osobine poznatog niza s graničnom vrednošću [inlmath]e[/inlmath] , sledi da je [dispmath]\frac{-e\cdot n^3}{8(m^3+2n^3)}<A<\frac{e\cdot n^3}{8(m^3+2n^3)} .[/dispmath]

Pošto uz nejednakost koju sam napisao u prethodnom postu nisam zapisao uslove koje treba da ispunjava broj [inlmath]m[/inlmath] (parnost i neparnost), ispravljam grešku. Za dati niz je tačna nejednakost[dispmath](-1)^m\cdot A<\frac{e\cdot n^3}{8(m^3+2n^3)}[/dispmath] pa dobijamo da je za parne vrednosti broja [inlmath]m[/inlmath] [dispmath]A<\frac{e\cdot n^3}{8(m^3+2n^3)}[/dispmath] a za neparne vrednosti [dispmath]\frac{-e\cdot n^3}{8(m^3+2n^3)}<A .[/dispmath]