MATEMANIJA

Dat je metrički prostor: [inlmath]d\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/inlmath]

[dispmath]\text{Data je metrika: }d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\left\{\begin{matrix}
|x_1-x_2|+|y_1-y_2|; & \exists k\in\mathbb{R}\text{ tako da je }(x_1,y_1)=k(x_2,y_2)\\
|x_1|+|x_2|+|y_1|+|y_2|; & \text{ inače }\\
\end{matrix}\right.[/dispmath]
Potrebno je skicirati otvorene lopte:
1. [inlmath]\mathbb{B}[(0,0),1][/inlmath]
2. [inlmath]\mathbb{B}[(1,2),2][/inlmath]
3. [inlmath]\mathbb{B}[(1,2),4][/inlmath]

Znam za tri različite metrike: Euclidska(krug), Menhetn/Taxicab(dijamant/kvadrat rotiran za 45 stepeni) i Čebiševa(kvadrat).
Kako se ovo radi? Ono što me buni je kako postaviti nejednačinu koju treba skicirati (Šta se tačno menja umesto [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] (i gde?), centar[inlmath](x,y)[/inlmath]? prečnik?) i kako posle odrediti koja od ove tri metrike treba da se skicira? Najteže mi je da razumem datu metriku i kako se rade stvari vezane za nju. Hvala na odgovoru!

Pošto u definiciji metrike imamo dve formule, treba da preformulišemo kriterijum koji "odlučuje" koju formulu da koristimo. Možda je najjednostavnije da taj kriterijum analiziramo koristeći vektore.
Da podsetim, vektor položaja neke tačke u koordinatnom sistemu je vektor koji počinje u koordinatnom početku a završava u posmatranoj tački. Koordinate tog vektora jednake su koordinatama te završne tačke vektora. Prema tome ako uočimo dva vektora [inlmath]\overrightarrow u(x_1,y_1)[/inlmath] i [inlmath]\overrightarrow v(x_2,y_2)[/inlmath], kriterijum u metrici dobija oblik [inlmath]\overrightarrow u(x_1,y_1) = k \overrightarrow v(x_2,y_2)[/inlmath], a to znači da su vektori ( koji nisu nula vektori ) kolinearni, odnosno tačke [inlmath](x_1,y_1), (x_2,y_2)[/inlmath] kolinearne sa koordinatnim početkom.
Prema tome, ako su tačke čije rastojanje računamo, kolinearne sa koordinatnim početkom, rastojanje računamo pomoću prve formule.

1. Pošto je središte prve otvorene lopte tačka [inlmath]S(0,0)[/inlmath] a poluprečnik te lopte [inlmath]1[/inlmath], to znači da tačka [inlmath]T(x,y)[/inlmath] pripada toj lopti ako je njeno rastojanje od centra [inlmath]S[/inlmath] manje od [inlmath]1[/inlmath], odnosno ako je [inlmath]d((x,y),(0,0))<1[/inlmath]. Pošto je radijus vektor tačke [inlmath]S[/inlmath] nula vektor, on ne može da bude kolinearan sa drugim vektorom pa primenjujemo drugu formulu. Ili, ako koordinate tačaka [inlmath]T[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] zamenimo u kriterijum, zaključujemo da ne postoji realan broj [inlmath]k[/inlmath] takav da je [inlmath](x,y)=k(0,0)[/inlmath] (Osim ako je [inlmath]T=S[/inlmath]). Prema tome, pošto primenimo drugu formulu za računanje rastojanja biće [dispmath]d((x,y),(0,0)) =|x|+|0|+|y|+|0|= \enclose{box}{|x|+|y| <1}[/dispmath]a to je nejednačina čija rešenja "čine" prvu loptu.

2. Središte druge lopte je tačka [inlmath]S(1,2)[/inlmath] a poluprečnik [inlmath]2[/inlmath]. Prema tome loptu čine tačke čije koordinate zadovoljavaju uslov [inlmath]d((x,y),(1,2))<2[/inlmath]. Prvu formulu za računanje rastojanja koristimo za one tačke koje su kolinearne sa tačkom [inlmath]S[/inlmath] i koordinatnim početkom, odnosno za tačke prave [inlmath]y=2x[/inlmath], pa imamo sistem jedne jednačine i jedne nejednačine [dispmath]\enclose{box}{y=2x} \land d((x,y),(1,2)) = \enclose{box}{|x-1|+|y-2| <2}.[/dispmath] Rešenja ovog sistema čine drugu loptu, zato što za tačke koje ne pripadaju navedenoj pravoj, rastojanje računamo pomoću druge formule, pa imamo [dispmath]d((x,y),(1,2)) =|x|+|1|+|y|+|2|<2[/dispmath] a ta nejednačina nema rešenja, odnosno lopta ne sadrži tačke van navedene prave.
Nadam se da je ovo dovoljno ( ako nije,slobodno pitaj ).