MATEMANIJA

Nađite sve b-ove takve da je:
[dispmath](321)_b+(321)_{b+1}+(321)_{b+2}=(840)_b+3[/dispmath]
Zadatak je pronaći bazu [inlmath]b[/inlmath].

[inlmath](312)_b[/inlmath] bismo rastavili kao [inlmath]3b^2+2b+1[/inlmath] itd. Kao rješenje kvadratne jednadžbe [inlmath]b^2+18b+17=0[/inlmath] dobije se [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]17[/inlmath]. Kako jedan ne može biti (već samo brojevi veći od tri u ovom slučaju), baza je, ako sam sve ispravno rješio, [inlmath]17[/inlmath].

No što ako u zadatku umjesto tri člana imamo dva ili jedan? Na primjer [inlmath]32_b[/inlmath] ili [inlmath]3_b[/inlmath]. Tada više ne može biti kvadratna jednadžba?

eseper je napisao:Kao rješenje kvadratne jednadžbe [inlmath]b^2+18b+17=0[/inlmath] dobije se [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]17[/inlmath].

Rešenja [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]17[/inlmath] bi se dobila kao rešenja ne ove kvadratne jednačine, već kvadratne jednačine [inlmath]b^{2}-18b+17=0[/inlmath]. Verovatno si pogrešio u pisanju tog jednog plusa umesto minusa.

eseper je napisao:Kako jedan ne može biti (već samo brojevi veći od tri u ovom slučaju)

Zapravo, samo brojevi veći od osam, budući da imamo i broj [inlmath]\left(840\right)_b[/inlmath].

eseper je napisao:No što ako u zadatku umjesto tri člana imamo dva ili jedan? Na primjer [inlmath]32_b[/inlmath] ili [inlmath]3_b[/inlmath]. Tada više ne može biti kvadratna jednadžba?

Ako imamo dva člana, imaćemo linearnu jednačinu. Ako imamo jedan član, imaćemo ili slučaj bez rešenja (npr. [inlmath]5=3[/inlmath]) ili slučaj sa neodređenim rešenjima (npr. [inlmath]3=3[/inlmath]).

Međutim, ja nikako ne mogu doći do te kvadratne jednačine koju si ti dobio, već dobijam da se za [inlmath]b[/inlmath] dobija iracionalan broj. Drugim rečima, da nema rešenja.
Evo mog postupka (ne tvrdim da nisam nigde pogrešio, ali sam prekontrolisao nekoliko puta):

[dispmath]\left(321\right)_b+\left(321\right)_{b+1}+\left(321\right)_{b+2}=\left(840\right)_b+3[/dispmath]
[dispmath]3b^2+2b+1+3\left(b+1\right)^2+2\left(b+1\right)+1+3\left(b+2\right)^2+2\left(b+2\right)+1=8b^2+4b+3[/dispmath]
[dispmath]3b^2+2b+1+3\left(b^2+2b+1\right)+2\left(b+1\right)+1+3\left(b^2+4b+4\right)+2\left(b+2\right)+1=8b^2+4b+3[/dispmath]
[dispmath]3b^2+2b+1+3b^2+6b+3+2b+2+1+3b^2+12b+12+2b+4+1=8b^2+4b+3[/dispmath]
[dispmath]b^2+20b+21=0[/dispmath]
[dispmath]b=\frac{-20\pm\sqrt{400-84}}{2}[/dispmath]
[dispmath]b=-10\pm\sqrt{100-21}[/dispmath]
[dispmath]b=-10\pm\sqrt{79}[/dispmath]

Da ne treba, možda, desno od znaka jednakosti da stoji [inlmath]\left(840\right)_{b+3}[/inlmath]? U tom slučaju, dobio bi se logičan rezultat – za rešenja bismo dobili [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]30[/inlmath], pa bi [inlmath]-2[/inlmath], naravno, otpalo i ostalo bi [inlmath]30[/inlmath] kao moguće rešenje.

Moguće da je tako, jer ova trojka mi sa strane baš nekako strši

Hvala na pomoći