MATEMANIJA

Ne razumin jednakost s ovim podcrtanim
[dispmath]57_{10}=5\cdot 10^1+7\cdot 10^0=\underline{1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0}=111001[/dispmath]
A ni ovo...
Prvo, šta nebi trebalo samo duju dijelit s dujom i dobit [inlmath]1[/inlmath] s ostatkom [inlmath]0[/inlmath] ?
Pa bi u binarnom sustavu to bila nula?
Drugo, ne razumin kako od [inlmath]0.5[/inlmath], pa [inlmath]1[/inlmath] dođu do [inlmath]0.01[/inlmath]

---

Sa racionalnim brojevima postupamo drugačije. Broj za početak podijelimo na cijeli i decimalni dio. Cijeli dio dijelimo sa bazom u koju želimo preračunati broj (postupamo kako je već prije navedeno), a decimalni dio broja množimo bazom u koji želimo preračunati broj. Cijeli dio tog broja je znamenka u "novom" sustavu. Ako je broj jednak ili veći od [inlmath]1[/inlmath], onda dalje SAMO decimalni dio množimo opet sa bazom. Postupak ponavljamo dok za decimalni dio ne dobijemo [inlmath]0[/inlmath]

Primjer 3
[inlmath]2.25[/inlmath] treba preračunati u binarni brojevni sustav.
[dispmath]2.25 = 2 + 0.25[/dispmath]
Cijeli dio preračunamo u binarni sustav na koji je već prije opisano.

[inlmath]\enclose{box}{2_2=10_{10}}[/inlmath]

Sada decimalni dio broja množimo sa [inlmath]2[/inlmath].

[inlmath]0.25\cdot 2=0.5[/inlmath]
[inlmath]0.5\cdot 2=1.0[/inlmath]
[inlmath]\enclose{box}{0.25_{10}=0.01_2}[/inlmath]
[inlmath]2.25_{10}=10.01_2[/inlmath]

Ponekad broj ne možemo zapisati sa konačno mnogo znamenki. Tada je broj ili periodičan ili nije periodičan. U slučaju da je periodičan, to zapisujemo kao i u dekadnom sustavu, sa povlakom iznad dijela koji se ponavlja, npr. [inlmath]101.110\overline{101}_2[/inlmath].

blake je napisao:Ne razumin jednakost s ovim podcrtanim

Imaš, dakle, broj [inlmath]57[/inlmath] u dekadnom sistemu. Posmatraš koji je najveći stepen dvojke koji je manji ili jednak od tog broja. Stepeni dvojke su [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath], [inlmath]16[/inlmath], [inlmath]32[/inlmath], [inlmath]64[/inlmath]... Znači, najveći stepen dvojke koji je [inlmath]\le 57[/inlmath] je [inlmath]32[/inlmath], tj. [inlmath]2^5[/inlmath]. Pišemo [inlmath]1\cdot 2^5[/inlmath]:

[inlmath]57_{10}=1\cdot 2^5+[/inlmath]

Zatim od [inlmath]57[/inlmath] oduzimamo [inlmath]32[/inlmath] i ostaje [inlmath]25[/inlmath]. Postavljamo pitanje da li je prvi manji stepen dvojke od [inlmath]32[/inlmath], a to je [inlmath]16[/inlmath] tj. [inlmath]2^4[/inlmath], manji ili jednak od [inlmath]25[/inlmath], ili je veći od [inlmath]25[/inlmath]. Ako je veći, dopisujemo [inlmath]+0\cdot 2^4[/inlmath] i ostavljamo [inlmath]25[/inlmath], a u suprotnom, ako je manji ili jednak, dopisujemo [inlmath]+1\cdot 2^4[/inlmath] nakon čega od [inlmath]25[/inlmath] oduzimamo [inlmath]16[/inlmath]. Pošto je [inlmath]16<25[/inlmath], činimo ovo drugo:

[inlmath]57_{10}=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+[/inlmath]

Pošto smo oduzimanjem [inlmath]25-16[/inlmath] dobili [inlmath]9[/inlmath], ponavljamo dalje isti taj postupak. Posle [inlmath]16[/inlmath], sledeći manji stepen dvojke je [inlmath]8[/inlmath], tj. [inlmath]2^3[/inlmath]. Pošto je on manji od [inlmath]9[/inlmath], dopisujemo [inlmath]+1\cdot 2^3[/inlmath]:

[inlmath]57_{10}=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+[/inlmath]

i od [inlmath]9[/inlmath] oduzimamo [inlmath]8[/inlmath] i ostaje nam [inlmath]1[/inlmath]. Da li je prvi manji stepen dvojke od [inlmath]8[/inlmath], a to je [inlmath]4[/inlmath], tj. [inlmath]2^2[/inlmath], manji ili jednak [inlmath]1[/inlmath]? Nije, veći je. Znači, dopisujemo [inlmath]+0\cdot 2^2[/inlmath]:

[inlmath]57_{10}=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+[/inlmath]

i ništa ne oduzimamo, već ostavljamo [inlmath]1[/inlmath]. Da li je prvi manji stepen dvojke od [inlmath]4[/inlmath], a to je [inlmath]2[/inlmath], tj. [inlmath]2^1[/inlmath], manji ili jednak [inlmath]1[/inlmath]? Nije, veći je. Znači, dopisujemo [inlmath]+0\cdot 2^1[/inlmath]:

[inlmath]57_{10}=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+[/inlmath]

Na kraju, postavljamo pitanje da li je prvi manji stepen dvojke od [inlmath]2[/inlmath], a to je [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]2^0[/inlmath], manji ili jednak [inlmath]1[/inlmath]? Jeste, jednak je. Znači, dopisujemo [inlmath]+1\cdot 2^0[/inlmath]:

[inlmath]57_{10}=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0[/inlmath]

nakon čega od [inlmath]1[/inlmath] oduzimamo [inlmath]1[/inlmath] i, pošto smo time dobili nulu, koeficijenti uz sve stepene dvojke do kraja postupka, biće nula. Ali, pošto je ovo ionako bio najmanji stepen dvojke, postupak bi ovde u svakom slučaju bio završen.

Sada samo zapišemo po redu dobijene koeficijente uz stepene dvojke i dobijamo dati broj u binarnom zapisu:

[inlmath]57_{10}=111001_2[/inlmath]


Sad ću pogledati i ovaj drugi, mada odmah uočavam jednu grešku – umesto što piše [inlmath]2_2=10_{10}[/inlmath], treba [inlmath]2_{10}=10_2[/inlmath], možda te i to buni...

Daniel je napisao:Sad ću pogledati i ovaj drugi, mada odmah uočavam jednu grešku – umesto što piše [inlmath]2_2=10_{10}[/inlmath], treba [inlmath]2_{10}=10_2[/inlmath], možda te i to buni...

Da!
Al nebi trebalo [inlmath]2_{10}=0_2[/inlmath]

[inlmath]2:2=1[/inlmath] i ostatak [inlmath]0[/inlmath]

blake je napisao:A ni ovo...
Prvo, šta nebi trebalo samo duju dijelit s dujom i dobit [inlmath]1[/inlmath] s ostatkom [inlmath]0[/inlmath] ?
Pa bi u binarnom sustavu to bila nula?

S dujom (kako mi je slatko govorit ovo „duja“ ) isti ti je postupak kao što sam gore napisao – tražiš prvo najveći stepen dvojke koji je manji ili jednak od te duje, a to je [inlmath]2[/inlmath], tj. [inlmath]2^1[/inlmath], pa kad od duje oduzmeš duju, onda je to nula, pa su koeficijenti uz sve stepene dvojke do kraja (a njih ima samo jedan, tj. [inlmath]2^0[/inlmath]) jednaki nula, tj. [inlmath]2_{10}=1\cdot 2^1+0\cdot 2^0[/inlmath], znači, [inlmath]2_{10}=10_2[/inlmath].

blake je napisao:Drugo, ne razumin kako od [inlmath]0.5[/inlmath], pa [inlmath]1[/inlmath] dođu do [inlmath]0.01[/inlmath]

Prvo napišemo da je [inlmath]0,25_{10}[/inlmath] jednako „nula zarez nešto“ u binarnom:

[inlmath]0,25_{10}=0,[/inlmath]

Zatim [inlmath]0,25[/inlmath] množimo dujom i, ako je rezultat i dalje manji od jedinice, dopisujemo jednu nulu na sledeće decimalno mesto. U slučaju da je rezultat veći ili jednak jedinici, dopisujemo jedinicu na sledeće decimalno mesto, pri čemu od rezultata oduzimamo [inlmath]1[/inlmath], tj. dalje posmatramo samo decimalni deo tog rezultata. Pošto je [inlmath]0,25\cdot 2=0,5\le 1[/inlmath], dopisujemo nulu na sledeće decimalno mesto:

[inlmath]0,25_{10}=0,0[/inlmath]

i zatim [inlmath]0,5[/inlmath] opet množimo dujom. Međutim, sada dobijamo rezultat koji je jednak [inlmath]1[/inlmath], a pravilo je da, ako je rezultat veći ili jednak [inlmath]1[/inlmath], na sledeće mesto upisujemo [inlmath]1[/inlmath]:

[inlmath]0,25_{10}=0,01_2[/inlmath]

I, pošto smo kao rezultat dobili tačno [inlmath]1[/inlmath], tj. kad od nje oduzmemo [inlmath]1[/inlmath] dobijamo nulu, postupak je završen.

blake je napisao:Al nebi trebalo [inlmath]2_{10}=0_2[/inlmath]

Ne, nikako. Pazi, kad je neki broj nula u jednom brojnom sistemu, onda će biti nula i u svakom drugom brojnom sistemu. To znači, [inlmath]0_2[/inlmath] može biti u dekadnom samo [inlmath]0_{10}[/inlmath], ne može nikako biti [inlmath]2_{10}[/inlmath].

blake je napisao:[inlmath]2:2=1[/inlmath] i ostatak [inlmath]0[/inlmath]

Pošto kad duju delimo sa [inlmath]2^1[/inlmath] dobijamo [inlmath]1[/inlmath], pišemo prvo [inlmath]1\cdot 2^1[/inlmath]:

[inlmath]2_{10}=1\cdot 2^1+[/inlmath]

a zatim, pošto smo dobili rezultat nula, koeficijenti uz sve stepene dvojke do kraja (a u ovom primeru ih ima samo jedan, [inlmath]2^0[/inlmath]) biće jednaki nuli:

[inlmath]2_{10}=1\cdot 2^1+0\cdot 2^0[/inlmath]

pa je [inlmath]2_{10}=10_2[/inlmath].

Npr. [inlmath]6.46[/inlmath]

U šesticu najviše stane [inlmath]2^2[/inlmath]
[inlmath]1\cdot 2^2+1\cdot 2^1[/inlmath]

[inlmath]6-4=2[/inlmath]

A u ostatku [inlmath]2[/inlmath] najviše stane [inlmath]2^1[/inlmath]

Imamo u binarnom sustavu dio broja koji je cijel [inlmath]11.+[/inlmath] ostatak

Sad ostatak
[inlmath]0.46[/inlmath]
[inlmath]0.46\cdot 2=0.92[/inlmath] ,a to je manje od [inlmath]1[/inlmath] pa dodajemo prvo [inlmath]0[/inlmath]

[inlmath]11.0[/inlmath]

[inlmath]0.92\cdot 2=1.84[/inlmath] ,a to je veće od [inlmath]0[/inlmath] pa dodajemo [inlmath]1[/inlmath]

[inlmath]11.01[/inlmath]

I šta sad da oduzmem [inlmath]1.84-1\dots[/inlmath] ???

blake je napisao:A u ostatku [inlmath]2[/inlmath] najviše stane [inlmath]2^1[/inlmath]

Imamo u binarnom sustavu dio broja koji je cijel [inlmath]11.+[/inlmath] ostatak

Ali, zaboravio si da dodaš nule uz sve koeficijente do kraja, a ovde do kraja imaš još koeficijent uz [inlmath]2^0[/inlmath]. Znači, [inlmath]1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]6_{10}=110_2[/inlmath].
Ne bi bilo loše da napamet naučiš binarne zapise svih brojeva od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
0_{10}=0_2\\
1_{10}=1_2\\
2_{10}=10_2\\
3_{10}=11_2\\
4_{10}=100_2\\
5_{10}=101_2\\
6_{10}=110_2\\
7_{10}=111_2\\
8_{10}=1000_2\\
9_{10}=1001_2\\
10_{10}=1010_2\\
\end{array}[/dispmath]

blake je napisao:I šta sad da oduzmem [inlmath]1.84-1\dots[/inlmath] ???

Da. I dobiješ [inlmath]0,84[/inlmath], koji zatim opet množiš dujom...