MATEMANIJA

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 3. razred

U Skupštini je podjeljeno [inlmath]200[/inlmath] poslaničkih mjesta između [inlmath]8[/inlmath] političkih stranaka tako da nikojih [inlmath]5[/inlmath] stranaka nema dvotrećinsku većinu. Dokazati da postoje dvije stranke koje imaju jednak broj poslanika.

Kao prvo zbunjuje me nikojih [inlmath]5[/inlmath] stranaka. Šta to podraumjeva? Tačnije sta podrazumjeva "nikojih"? Jer ako to ne znam uopste ne mogu da krenem sa rjesavanjem zadatka.

Rjesenje:

1) Predpostavimo suprotno,da za brojeve poslaničkih mjesta tih stranaka vrijedi
[dispmath]x_1<x_2<\cdots <x_8[/dispmath]
2) Iz uslova zadatka slijedi da je
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<\frac{2}{3}\cdot 200<134[/dispmath]
3) Odavde slijedi da je [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] je bismo u suprotnom imali da je
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\ge 25+26+27+28+29=135[/dispmath]
4) Dalje iz [inlmath]x_1+x_2+x_3>66[/inlmath] slijedi da je [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] jer bismo u suprotnom imali da je
[dispmath]x_1+x_2+x_3\le 21+22+23=66[/dispmath]
5) Iz [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] i [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] slijedi [inlmath]x_3\ge x_4[/inlmath]. Kontradikcija.

Posto te buni termin "nikojih"... U stvari kazu da nema pet stranaka koje bi zajedno presle [inlmath]2/3[/inlmath] clanstva. Odnosno, da je zbir clanova svake petorke stranaka manji od [inlmath]134[/inlmath]. Dakle:
[dispmath]x_1+x_2+\cdots +x_5<134[/dispmath][dispmath]x_2+x_3+x_5+x_7+x_8<134[/dispmath]
Itd. Svakih pet proizvoljnih razlicitih [inlmath]x_i[/inlmath] to zadovoljavaju.

A evo sta su oni uradili u resenju.

1) Pretpostavili su suprotno – da su brojevi poslanika svih stranaka razliciti, i dodelili hijerarhijski indekse tim brojkama tako da [inlmath]x_8[/inlmath] bude najvece, a [inlmath]x_1[/inlmath] najmanje.

2) Onda je iskoriscen ovaj vec objasnjen uslov sa "nikoji".

3) Zakljuceno je da je [inlmath]x_4\le 24[/inlmath], jer bi u suprotnom prethodni zbir premasio [inlmath]134[/inlmath].

4) Ako je [inlmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<134[/inlmath], onda je svakako i ostatak [inlmath]x_1+x_2+x_3>66[/inlmath], a to je moguce ako je [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath].

5) Spajanjem ovog sa prethodnim uslovom za [inlmath]x_4[/inlmath] dobijamo kontradikciju i time je tvrdjenje dokazano.

Ovo zahtjeva veoma jako logičko razmišljanje.Jasno mi je nešto. Prije mi nije bilo ništa jasno.Jedino što me zbunjuje [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] to je predpostavljam zbog ovoga. Ako može malo detaljnije o tome.Što [inlmath]24[/inlmath]?
[dispmath]x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6<x_7<x_8[/dispmath][dispmath]21<22<23<24<25<26<27<28[/dispmath]
Suma nije [inlmath]200[/inlmath] već [inlmath]196[/inlmath]
Ili ovi moji brojevi nemaju veze ni sa čim?Poenta je poredati bilo kakve brojeve samo da se dobije nejednakost? A [inlmath]24[/inlmath] i nije se moralo naći tu mogao je i neki drugi broj ?

Ne, nije zbog toga.
U 2. koraku smo došli do nejednakosti
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<\frac{2}{3}\cdot 200<134[/dispmath]
Sada iz toga treba da odrediš kolika je najveća vrednost koju [inlmath]x_4[/inlmath] može imati. Pošto [inlmath]x_4,x_5,x_6,x_7,x_8[/inlmath] čine strogo rastući niz, iz ove nejednakosti je jasno da je maksimalna moguća vrednost za [inlmath]x_4[/inlmath] utoliko veća ukoliko su razlike između uzastopnih sabiraka manje. A pošto je najmanja moguća razlika dva uzastopna sabirka jednaka jedinici, razmatraćemo upravo taj slučaj u cilju određivanja maksimalne vrednsoti za [inlmath]x_4[/inlmath]. Znači, pretpostavljamo da je razlika dva uzastopna sabirka jednaka jedinici, tj. da je [inlmath]x_5=x_4+1,\;x_6=x_5+1,\;x_7=x_6+1,\;x_8=x_7+1[/inlmath]. To jest, [inlmath]x_5=x_4+1,\;x_6=x_4+2,\;x_7=x_4+3,\;x_8=x_4+4[/inlmath]. Nejednakost postaje:
[dispmath]x_4+\left(x_4+1\right)+\left(x_4+2\right)+\left(x_4+3\right)+\left(x_4+4\right)<134[/dispmath][dispmath]5x_4+1+2+3+4<134[/dispmath]
[inlmath]1+2+3+4[/inlmath] možeš izračunati kao sumu aritmetičkog niza, a možeš, jednostavno, i sabrati. U svakom slučaju, to je jednako [inlmath]10[/inlmath].
[dispmath]5x_4+10<134[/dispmath][dispmath]5x_4<124[/dispmath][dispmath]x_4<\frac{124}{5}[/dispmath][dispmath]x_4<24,8[/dispmath]
I, pošto [inlmath]x_4[/inlmath] mora biti prirodan broj,
[dispmath]x_4\le 24[/dispmath]

Sada zbunio si me sa tom najvećom vrijednosti. Kada kakve veze ima zadatak sa najvećom vrijednosti? Aj najbolje bi bilo da mi kažeš poentu svojim rijecima za rješavanje ovoga zadatka.Mislim na šta se sve svodi rješenje postepeno.Jer ja ovo sa najvećom vrijednosti stvarno ne mogu da skontam.A kada bi radio za ostatak ovako isto sa najvećom vrijednosti ispalo bi [inlmath]x_3\ge 23[/inlmath] a ne [inlmath]24[/inlmath].

Gamma je napisao:Sada zbunio si me sa tom najvećom vrijednosti. Kada kakve veze ima zadatak sa najvećom vrijednosti?

Tvoje pitanje je bilo kako se došlo do [inlmath]x_4\le 24[/inlmath]. Drugim rečima, kako se došlo do toga da je [inlmath]24[/inlmath] najveća vrednost koju [inlmath]x_4[/inlmath] može imati. Upravo na to pitanje sam ti odgovorio.

Gamma je napisao:A kada bi radio za ostatak ovako isto sa najvećom vrijednosti ispalo bi [inlmath]x_3\ge 23[/inlmath] a ne [inlmath]24[/inlmath].

Dobije se [inlmath]x_3>23[/inlmath], a to znači [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] jer je [inlmath]x_3[/inlmath] prirodan broj. Polazi se od nejednakosti [inlmath]x_1+x_2+x_3>66[/inlmath]. Ako i dalje dobijaš pogrešan rezultat, pokaži svoj postupak da vidimo kako si radio.

Kao što već rekoh.Moraće mi ovo leći nekako.