MATEMANIJA

Provera hipoteza u matematičkoj statistici svodi se na određivanje pravila na osnovu uzorka, po kome hipoteza može da se prihvati ili odbaci.
Pravila određuju teoreme i aksiome teorije verovatnoće. Prirodan sled teorije verovatnoće je matematička statistika.
U ovom postu neću ulaziti dublje u neke dokaze, ali ću izneti ono najosnovnije.

Hipoteze u matematičkoj statistici dele se na:

• Neparametarske hipoteze koje se odnose na pretpostavljene stohastičke raspodele (distribucije) verovatnoća.
• Parametarske hipoteze koje se odnose na vrednosti parametara raspodela (distribucija) verovatnoća.

Najčešće se hipoteze postavljaju u paru: nulta [inlmath]H_0[/inlmath] i alternativna [inlmath]H_1[/inlmath].

Ako se usvoji (prihvati) nulta, odbacuje se alternativna i obrnuto. Neki autori zagovaraju termin "neodbacivanje" umesto termina "prihvatanje", no to je po mom mišljenju bespotrebno komplikovanje.

Prag značajnosti ili greška prve vrste [inlmath]\color{red}\alpha[/inlmath] predstavlja verovatnoću odbacivanja tačne hipoteze. Obično se za ovaj prag značajnosti uzima [inlmath]\color{red}\alpha=0.05[/inlmath]. Ako se hipoteza odbaci za ovaj rizik, zaključak je signifikantan (značajan). Ako se hipoteza odbaci za rizik [inlmath]\color{red}\alpha=0.01[/inlmath], zaključak je visoko signifikantan.

Tako se kaže. No sve to mogu i objasniti detaljnije, ako nekog zanima.

Greška druge vrste je verovatnoća prihvatanja pogrešne hipoteze, koja se označava sa [inlmath]\color{red}\beta[/inlmath]. Dobro, komplikatori bi rekli "verovatnoća da je hipoteza pogrešna, no nije odbačena".

Hajde da ne komplikujem ja, no moć testa je [inlmath]\color{red}1-\beta[/inlmath].
Šta bi bilo to?

Nešto meni ovde nije baš jasno. Na osnovu

desideri je napisao:Ako se usvoji (prihvati) nulta, odbacuje se alternativna i obrnuto.

dalo bi se zaključiti da su nulta i alternativna hipoteza međusobno komplementarne, tj. da predstavljaju pretpostavke međusobno komplementarnih događaja.
To bi, opet, značilo da, ako odbacimo tačnu hipotezu, tada ćemo prihvatiti (iliti nećemo odbaciti) netačnu, kao i obratno?
Iz toga bi sledilo da je verovatnoća odbacivanja tačne hipoteze (greška prve vrste) jednaka verovatnoći prihvatanja netačne hipoteze (greška druge vrste), što bi značilo da je [inlmath]\alpha=\beta[/inlmath], ali ne bi imalo previše smisla istu verovatnoću obležavati različitim oznakama, tako da pretpostavljam da je greška negde u mom razmišljanju.

desideri je napisao:Neki autori zagovaraju termin "neodbacivanje" umesto termina "prihvatanje", no to je po mom mišljenju bespotrebno komplikovanje.

Zavisi. U svakodnevnom govoru neodbacivanje i prihvatanje su dva vrlo različita pojma. Neodbacivanje može značiti da nešto nismo prihvatili kao sigurno tačno, ali što i dalje možemo imati u vidu kao nešto što ne bismo smeli eliminisati kao mogućnost. E sad, ne znam u kom smislu se ti pojmovi ovde upotrebaljvaju, ali ako bi važilo da neku hipotezu možemo ili odbaciti ili prihvatiti (tj. da nema ništa između), u tom slučaju se slažem da bi neodbacivanje moglo da se tretira na isti način kao prihvatanje.

desideri je napisao:Dobro, komplikatori bi rekli "verovatnoća da je hipoteza pogrešna, no nije odbačena".

Može se to i lepše sročiti – verovatnoća neodbacivanja pogrešne hipoteze.

Daniel je napisao:dalo bi se zaključiti da su nulta i alternativna hipoteza međusobno komplementarne, tj. da predstavljaju pretpostavke međusobno komplementarnih događaja.
To bi, opet, značilo da, ako odbacimo tačnu hipotezu, tada ćemo prihvatiti (iliti nećemo odbaciti) netačnu, kao i obratno?
Iz toga bi sledilo da je verovatnoća odbacivanja tačne hipoteze (greška prve vrste) jednaka verovatnoći prihvatanja netačne hipoteze (greška druge vrste)

Nema greške u Danielovom načinu razmišljanja. Jednostavno, ja neke stvari nisam dovoljno pojasnio.

Postoje četiri slučaja:

• Moguće je prihvatiti tačnu hipotezu, i to je evidentno OK zaključak.
• Moguće je odbaciti pogrešnu i to je takođe OK.
• Moguće je odbaciti tačnu hipotezu i to je greška prve vrste.
• Moguće je prihvatiti pogrešnu hipotezu i to je greška druge vrste.

Postoje dve hipoteze (nulta i alternativna) i dve vrste mogućih grešaka kod testiranja (greška prve i greška druge vrste).
To se može shvatiti i kao eksperiment sa četiri ishoda.
Napominjem i da su u opštem slučaju različite raspodele (distribucije) slučajnih promenljivih ako je nulta hipoteza tačna i ako je alternativna hipoteza tačna.
I još jedan detalj: moć testa je verovatnoća da se ne napravi greška druge vrste.

Daniel je napisao:Zavisi. U svakodnevnom govoru neodbacivanje i prihvatanje su dva vrlo različita pojma. Neodbacivanje može značiti da nešto nismo prihvatili kao sigurno tačno, ali što i dalje možemo imati u vidu kao nešto što ne bismo smeli eliminisati kao mogućnost. E sad, ne znam u kom smislu se ti pojmovi ovde upotrebaljvaju, ali ako bi važilo da neku hipotezu možemo ili odbaciti ili prihvatiti (tj. da nema ništa između), u tom slučaju se slažem da bi neodbacivanje moglo da se tretira na isti način kao prihvatanje.

O tome sam i pisao, no u odnosu na jedan praktičan, pragmatičan pristup gde je cilj uraditi zadatak, rešiti praktičan problem i slično. Nije mi bila namera da pišem nešto što bi ličilo na udžbeničku literaturu. U okviru ovog potforuma želeo bih da se što više okrenemo praksi. Inače se iskreno slažem da je "neodbacivanje" precizniji termin od termina "prihvatanje". I to baš u matematičkoj statistici.

desideri je napisao:Postoje četiri slučaja:

• Moguće je prihvatiti tačnu hipotezu, i to je evidentno OK zaključak.
• Moguće je odbaciti pogrešnu i to je takođe OK.
• Moguće je odbaciti tačnu hipotezu i to je greška prve vrste.
• Moguće je prihvatiti pogrešnu hipotezu i to je greška druge vrste.

Postoje dve hipoteze (nulta i alternativna) i dve vrste mogućih grešaka kod testiranja (greška prve i greška druge vrste).

Ali, zar nisi napisao

desideri je napisao:Ako se usvoji (prihvati) nulta, odbacuje se alternativna i obrnuto.

Ako je to tačno, to bi značilo da od ova četiri slučaja što si naveo, prvi slučaj automatski povlači i drugi slučaj (kao i obratno), a da isto tako treći slučaj automatski povlači četvrti slučaj (kao i obratno) – što bi značilo da u suštini imamo samo dva različita slučaja?

Biće da ja nešto ovde debelo ne kapiram... Bi li mogao ovo da ilustruješ nekim konkretnim primerom, siguran sam da će nakon toga biti jasnije?

Napokon da se neko na forumu interesuje za matematičku statistiku, pa makar to bio i Admin

Šalim se naravno, ja sam ovaj potforum pokrenuo posle zahteva naših forumaša i odobrenja moderatorskog tima.
No niko da mi postavi pitanje.
Osim Daniela .
Odgovor na pitanje je naravno u ovoj rečenici:

desideri je napisao:Napominjem i da su u opštem slučaju različite raspodele (distribucije) slučajnih promenljivih ako je nulta hipoteza tačna i ako je alternativna hipoteza tačna.

Obećavam i primer.
Mislim da se termin "hipoteza" uvek shvati kao "nulta hipoteza", no treba taj termin shvatiti i kao alternativnu hipotezu. Dakle dualno, no sad sam tek zamrsio .

desideri je napisao:Prag značajnosti ili greška prve vrste [inlmath]\color{red}\alpha[/inlmath] predstavlja verovatnoću odbacivanja tačne hipoteze.
Greška druge vrste je verovatnoća prihvatanja pogrešne hipoteze, koja se označava sa [inlmath]\color{red}\beta[/inlmath].

Radili smo pre neki dan testiranje hipoteza i profesor rece da obratimo paznju na usmenom, jer, kako on kaze, nivo (prag) znacajnosti u oznaci [inlmath]\alpha[/inlmath], nije greska prve vrste, vec rizik greske prve vrste (odnosno verovatnoca da se ta greska napravi, tj. odbaci istinita nulta hipoteza). Analogno, i za rizik greske druge vrste, u oznaci [inlmath]\beta[/inlmath].

Mozda je glupost i cepidlacenje, ali eto.

Doduse, malo sam se pogubio u (ne)prihvatanju i (ne)odbacivanju tih hipoteza. Sto se tice jacine testa (moc testa, kako god se zvalo), u oznaci [inlmath]\pi[/inlmath], nije mi to jasno uopste. To znaci da mi, umesto da odredimo verovatnocu da necemo odbaciti netacnu nultu hipotezu, odredjujemo verovatnocu da cemo je odbaciti. Nisam bas najbolje ukapirao zasto je to tako. Je l' to uvek tako ili sta?

U konkretnom zadatku se uvek zadaje ili usvaja rizik tj. greška prve vrste, a najpreciznije je reći rizik greške prve vrste kao što to tvoj profesor kaže.
Jeste cepidlačenje, no je precizno.
Dalje, preciznije je reći "neodbacivanje" nego "prihvatanje".
No odgovoriću detaljnije, obećavam!

Malo bih se nadovezao na ovo neodbacivanje i neprihvatanje hipoteza iz svog 'statistickog' ugla. Izlozicu ovde kako sam ja to ucio.

Radili smo tako da nultu hipotezu mozemo odbaciti ili ne odbaciti, a alternaticnu prihvatiti ili ne prihvatiti. Zasto ti termini? Receno je da se u alternativnoj hipotezi uvek formulise tvrdnja koju nastojimo da potvrdimo, te se zato ona jos naziva i istrazivacka. Znaci, prilikom testiranja polazimo od pretpostavke da je nulta hipoteza istinita i nastojimo da nadjemo cvrste dokaze protiv nje i da je odbacimo, da bismo jelte prihvatili nasu tvrdnju iz alternativne hipoteze. Zato mislim da je izraz "neodbacivanje" korektniji od prihvatanja nulte hipoteze, zato sto ona, da tako kazem, nije u nasem interesu - jer je tvrdnja koju zelimo da prihvatimo, odnosno tvrdnja kojom se bavimo, u alternativnoj. Zato umesto da prihvatimo nultu, kazemo da nemamo dovoljno cvrste dokaze da je odbacimo, pa otud to "neodbacivanje" nulte hipoteze.

Postojao je jedan odlican primer u vezi sa tuziocem i optuzenim (u vidu postavljanja hipoteza i odbacivanja/neodbacivanja (prihvatanja/neprihvatanja) istih).

desideri je napisao:Postoje četiri slučaja:

• Moguće je prihvatiti tačnu hipotezu, i to je evidentno OK zaključak.
• Moguće je odbaciti pogrešnu i to je takođe OK.
• Moguće je odbaciti tačnu hipotezu i to je greška prve vrste.
• Moguće je prihvatiti pogrešnu hipotezu i to je greška druge vrste.

Da ne dodje do zabune, ovo se odnosi samo na nultu hipotezu (kada se ovde kaze hipoteza - sto je @desideri vec i naglasio gore). Pa da dopunim:

• Odbacivanje netacne nulte hipoteze - pravilna odluka.
• Neodbacivanje netacne nulte hipoteze - greska druge vrste.
• Odbacivanje tacne nulte hipoteze - greska prve vrste.
• Neodbacivanje tacne nulte hipoteze - pravilna odluka.

Iz ovog je logicno da mozemo napraviti samo jednu gresku, a ne obe istovremeno - ili necemo odbaciti netacnu ili cemo odbaciti tacnu nultu hipotezu. Takodje rizici ove dve greske nisu komplementarni, tj. [inlmath]\alpha+\beta\ne1[/inlmath], ali svakako veoma uticu jedan na drugog.

Sto se tice jacine (moci) testa, u oznaci [inlmath]1-\beta[/inlmath] ili [inlmath]\pi[/inlmath], ona jeste komlementarna sa rizikog greske druge vrste [inlmath]\beta[/inlmath]. Jacina testa nam pomaze za izbor optimalnog testa koji ce se koristiti - optimalan test je onaj koji za fiksiran rizk greske [inlmath]\alpha[/inlmath] ima najvecu jacinu. Medjutim, njih (rizik greske druge vrste i moc testa) je u stvarnosti veoma tesko odredti, zbog uticaja raznih faktora (da ne davim sa tim), pa se uzima da najvecu jacinu imaju parametarski testovi, ako je raspored skupa normalan.

Toliko od mene, da ne ulazimo u detalje, za sad. Ako se neko bude interesovao ili bude hteo nesto da razjasni (ako ima statistiku na faksu ili iz nekih drugih razloga), sigurno znam da ce @desideri to pojasniti (pa i ja, sto da ne - ako budem znao, naravno).