MATEMANIJA

prije svega da naglasim da je ovo moj zadnji zadatak na forumu i da više neću trebati pomoć

Razmnožavanje bakterija određeno je eksponecijalnom funkcijom oblika [inlmath]N=N_0\cdot e^{k\cdot t}[/inlmath]
gdje je [inlmath]N[/inlmath] – broj bakterija na kraju perioda, [inlmath]N_0[/inlmath] – broj bakterija na početku perioda, [inlmath]t[/inlmath] – vrijeme,i [inlmath]k[/inlmath] – konstanta karakteristična za određenu vrstu bakterija. Ako se broj bakterija poveća [inlmath]50\%[/inlmath] za [inlmath]20[/inlmath] minuta odredite konstantu [inlmath]k[/inlmath].
Zatim odredite za koje vrijeme će broj bakterija iznositi [inlmath]8000[/inlmath] jedinki ako je početni broj [inlmath]500[/inlmath].
[dispmath]N=N_0\cdot e^{k\cdot t}[/dispmath]
porast od [inlmath]50[/inlmath] dat će [inlmath]150\%\;---\;1,5[/inlmath]
[dispmath]1,5=N_0\cdot e^{k\cdot t}[/dispmath]
[inlmath]\ln1,5=0,40546[/inlmath]
[dispmath]0,40546=k\cdot20\text{ min}\quad/\div20[/dispmath][dispmath]0,40546\div20=0,0202[/dispmath][dispmath]k=0,0202[/dispmath]
kako da izračunam vrijeme jer do sada izračunavanje vremena nisam imao u zadacima

zeljko_mo je napisao:[dispmath]N=N_0\cdot e^{k\cdot t}[/dispmath]
porast od [inlmath]50[/inlmath] dat će [inlmath]150\%\;---\;1,5[/inlmath]
[dispmath]1,5=N_0\cdot e^{k\cdot t}[/dispmath]

Ovde si [inlmath]N[/inlmath] (broj bakterija na kraju perioda) pogrešno zamenio vrednošću [inlmath]1,5[/inlmath].
Međutim, pošto je broj bakterija na kraju perioda [inlmath]1,5[/inlmath] puta veći od broja bakterija na početku perioda, ispravno bi bilo pisati [inlmath]N=1,5N_0[/inlmath], tj.
[dispmath]1,5N_0=N_0\cdot e^{k\cdot t}[/dispmath]
Ali, dalji postupak ti je tačan, tako da pretpostavljam da je to bila samo greška u kucanju...

zeljko_mo je napisao:[inlmath]\ln1,5=0,4054{\color{red}6}[/inlmath]

Obrati pažnju na zaokruživanje. Pošto je [inlmath]\ln1,5=0,4054651\ldots[/inlmath], tj. prva od odbačenih cifara ti je petica nakon dolaze nenulte cifre, tada je potrebno poslednju neodbačenu cifru (u ovom slučaju šesticu) povećati za jedan. Znači, ispravno zaokruživanje bi bilo
[inlmath]\ln1,5\approx0,4054{\color{green}7}[/inlmath]
Pogledaj ovu temu o zaokruživanju.

zeljko_mo je napisao:[dispmath]0,40546=k\cdot20\text{ min}\quad/\div20[/dispmath][dispmath]0,40546\div20=0,0202[/dispmath][dispmath]k=0,0202[/dispmath]

Ista primedba kao i u ovom postu (na koju mi nisi odgovorio). Moraš navesti u kojim je jedinicama ta brojna vrednost izražena. To bi bilo isto kao kad bi rekao npr. da je brzina nekog tela [inlmath]20[/inlmath], a ne napišeš da li je to [inlmath]20\;\frac{\text{km}}{\text{h}}[/inlmath], ili je [inlmath]20\;\frac{\text{m}}{\text{s}}[/inlmath], ili je [inlmath]20\;\frac{\text{km}}{\text{s}}[/inlmath] itd. To da je brzina [inlmath]20[/inlmath] ne znači ništa.

Ispravan postupak bi bio:
[dispmath]0,40547=k\cdot20\text{ min}\quad/:20\text{ min}[/dispmath][dispmath]\frac{0,40547}{20\text{ min}}=k[/dispmath][dispmath]\frac{0,40547}{20}\;\frac{1}{\text{min}}=k[/dispmath][dispmath]k=0,0203\text{ min}^{-1}[/dispmath]

zeljko_mo je napisao:kako da izračunam vrijeme jer do sada izračunavanje vremena nisam imao u zadacima

Potpuno isto kao kada si znao vreme a tražio si [inlmath]k[/inlmath]. Sada ti je [inlmath]k[/inlmath] poznato, a tražiš vreme [inlmath]t[/inlmath]. Dakle, isto krećeš od izraza
[dispmath]N=N_0\cdot e^{k\cdot t}[/dispmath]
uvrstiš [inlmath]N=8000[/inlmath] (broj bakterija na kraju perioda), [inlmath]N_0=500[/inlmath] (broj bakterija na početku perioda), [inlmath]k=0,0203\text{ min}^{-1}[/inlmath] (vrednost koju si upravo odredio) i ostaće ti samo jedna nepoznata, [inlmath]t[/inlmath].

[dispmath]\frac{8000}{500}=16[/dispmath]
[inlmath]In 16=2,7725[/inlmath]
[dispmath]2,7725=k\cdot t[/dispmath][dispmath]\frac{2,7725}{0,0203}=136,57[/dispmath]
da li sam pogrešio što sam radio [inlmath]In 16[/inlmath]

Nisi, ali si pogrešio u par drugih stvari:
– Prirodni logaritam se ne obeležava sa [inlmath]In[/inlmath], već sa [inlmath]\ln[/inlmath] (ne veliko slovo [inlmath]I[/inlmath], već malo slovo [inlmath]l[/inlmath])
– Kod računanja [inlmath]\ln16[/inlmath] pogrešno si izvršio zaokruživanje na četiri decimale. [inlmath]\ln16=2,772588722\ldots[/inlmath], a kad se to zaokruži na četiri decimale, ne dobije se ovo što si ti napisao. U prethodnom postu sam ti linkovao na temu u kojoj možeš videti kako se brojevi pravilno zaokružuju, i molim te da to pročitaš, kako ne bi pravio ovakve greške.
– Napisao si na kraju rezultat za traženo vreme, ali opet nisi naveo u kojim je to jedinicama. Da li je u sekundama, minutima, satima, danima...? I za to sam ti isto dosad skrenuo pažnju bar nekoliko puta. Po svemu ovome mi deluje kao da ti i ne čitaš pažljivo moje postove.

pažljivo ću pogledati zaokruživanje brojeva,razumjem da moram napisati uz vrijeme dali su to sekunde,minute,sati......
jer sam broj ništa ne govori
dali ja mogu bez zaokruživanja brojeva da jednostavno broj
[inlmath]2.77258872224[/inlmath] podjelim s [inlmath]k[/inlmath]

U principu, ti mnogo „cepkaš“ taj svoj postupak. Najbolje je da radiš ovako, u kontinuitetu:

Kreneš prvo od same formule:
[dispmath]N=N_0\cdot e^{kt}[/dispmath]
Pošto ti je sve poznato osim vremena [inlmath]t[/inlmath], potrebno je da ovu jednačinu rešiš po [inlmath]t[/inlmath], tj. da ti na levoj strani ostane samo [inlmath]t[/inlmath], a na desnoj sve ostalo.
Podelimo prvo obe strane jednačine sa [inlmath]N_0[/inlmath]:
[dispmath]\frac{N}{N_0}=e^{kt}[/dispmath]
Pošto se nepoznata [inlmath]t[/inlmath] nalazi na desnoj strani, zamenimo strane ove jednačine (levu desnom i desnu levom):
[dispmath]e^{kt}=\frac{N}{N_0}[/dispmath]
Logaritmujemo obe strane kako bismo se oslobodili ovog [inlmath]e[/inlmath]:
[dispmath]\ln e^{kt}=\ln\frac{N}{N_0}[/dispmath]
to jest
[dispmath]kt=\ln\frac{N}{N_0}[/dispmath]
I, na kraju, da bismo na levoj strani dobili samo nepoznatu [inlmath]t[/inlmath], podelimo obe strane sa [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]t=\frac{\ln\frac{N}{N_0}}{k}[/dispmath]
I tek onda, na samom kraju, uvrštavaš brojne vrednosti:
[dispmath]t=\frac{\ln\frac{8000}{500}}{0,0203\text{ min}^{-1}}=\frac{\ln16}{0,0203\text{ min}^{-1}}[/dispmath]
I onda uzmeš digitron i sve to sračunaš odjednom.