MATEMANIJA

Lijep pozdrav,
Imam problem sa pronalaskom nacina da dobijem poznata rješenja pa ako bi mi netko mogao pomoć bio bi mu veoma zahvalan.

[inlmath]Q_1=6\cdot10^{-11}\\
Q_3=2\cdot10^{-2 }\\
r_{13}=4[/inlmath]

i trebam pronaci [inlmath]r_{12}[/inlmath], [inlmath]r_{23}[/inlmath] i [inlmath]Q_2[/inlmath]

Imamo: [inlmath]r_{12}+r_{23}=r_{13}[/inlmath]

[inlmath]1)\;Q_3\cdot r_{12}^2=Q_2\cdot r_{13}^2\\
2)\;Q_3\cdot r_{12}^2=Q_1\cdot r_{23}^2\\
3)\;Q_1\cdot r_{23}^2=Q_2\cdot r_{13}^2[/inlmath]

Rješenja:
[inlmath]r_{12}=2.54\\
r_{23}=1.46\\
Q_2=0.8\cdot10^{-11}[/inlmath]

Pozdrav,

Proveri da li su jednačine i rešenja koja si dao dobro napisane? Kada se zamene vrednosti u prvu jednačinu sa [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath], ne dobije se tačna jednakost. Posebno mi pada u oči da su [inlmath]Q_1[/inlmath] i [inlmath]Q_2[/inlmath] reda veličine [inlmath]10^{-11}[/inlmath], a [inlmath]Q_3[/inlmath] je za devet redova veličine veći ([inlmath]10^{-2}[/inlmath]). Da li je ovo deo nekog zadatka iz fizike? Liči mi dosta na zadatke kada treba izračunati snagu na nekom otporniku, imao sam i sam dosta problema sa tim svojevremeno. Proveri ovo, pa da radimo.

Istina da, iz elektrotehnike je zadatak i ovo prije je sve izračunato i došli smo do konacnih formula (ovih gore navedenih)
Profesor napiso rješenja i kaže da dalje sami, ali eto nikako ne mogu.
usput hvala na trudu

Potvrđujem i ja ovo što reče miletrans, da se iz raspoloživih podataka ne dobiju ta rešenja. Posebno ovo za red veličine [inlmath]Q_3[/inlmath] – pretpostavljam da su [inlmath]Q_1[/inlmath], [inlmath]Q_2[/inlmath] i [inlmath]Q_3[/inlmath] naelektrisanja, a [inlmath]r_{12}[/inlmath], [inlmath]r_{13}[/inlmath] i [inlmath]r_{23}[/inlmath] rastojanja između njih. Ako su naelektrisanja izražena u kulonima (a verovatno jesu, jer je tada red veličine [inlmath]Q_1[/inlmath] i [inlmath]Q_2[/inlmath] sasvim logičan), onda ispade da [inlmath]Q_3[/inlmath] ima [inlmath]20[/inlmath] milikulona, što je nerealno velika vrednost.

Dakle, proveri te međurezultate do kojih si došao, jer s ovakvim pogrešnim vrednostima ne možemo ništa da uradimo.

Sam sistem jednačina možeš da rešiš na sledeći način:
Iz jednačine [inlmath]1)[/inlmath], napišeš
[dispmath]Q_2=Q_3\cdot\frac{r_{12}^2}{r_{13}^2}[/dispmath] a zatim iz jednačine [inlmath]2)[/inlmath]:
[dispmath]r_{23}^2=\frac{Q_3}{Q_1}\cdot r_{12}^2[/dispmath] Sada izraze za [inlmath]Q_2[/inlmath] i [inlmath]r_{23}^2[/inlmath] ubaciš u jednačinu [inlmath]3)[/inlmath] i dobio si jednu jednačinu sa jednom nepoznatom ([inlmath]r_{12}[/inlmath]). Dalje ti je lako. Ovo ti je postupak kako se radi ovaj zadatak. Ali, kao što rekoh, navedeni brojevi nisu rešenja ovog sistema jednačina. U ovo možeš i sam vrlo lako da se uveriš ako u neku od navedenih jednačina uvrstiš brojeve koji su navedeni kao rešenja.

miletrans je napisao:Sada izraze za [inlmath]Q_2[/inlmath] i [inlmath]r_{23}^2[/inlmath] ubaciš u jednačinu [inlmath]3)[/inlmath] i dobio si jednu jednačinu sa jednom nepoznatom ([inlmath]r_{12}[/inlmath]).

Ali, time smo zanemarili jednačinu [inlmath]r_{12}+r_{23}=r_{13}[/inlmath], jer je prilikom rešavanja sistema nigde nismo iskoristili. Zapravo, ono što mene zbunjuje to je da mi ovde imamo sistem od četiri jednačine s tri nepoznate, što znači ili da je jedna jednačina suvišna, ili da je sistem nesaglasan. Zato i kažem da bismo više mogli da uradimo kad bi nam autor teme dostavio tačne podatke.

Tri mala tijela, električnih naboja [inlmath]Q_1=+6\cdot10^{-11}\text{ C}[/inlmath], nepoznati električni naboj [inlmath]Q_2[/inlmath] i [inlmath]Q_3=+2\cdot10^{-11}\text{ C}[/inlmath], zauzimaju u vakuumu položaj kao što je prikazano na slici. Odredite položaj i električni naboj [inlmath]Q_2[/inlmath] tako da se sva tijela pod djelovanjem Coulomb-ovih sila nalaze u mirovanju. Zadano:

[inlmath]Q_1=6\cdot10^{-11}\text{ C}\\
Q_3=2\cdot10^{-11}\text{ C}\\
r_{13}=4\text{ cm}[/inlmath]


(Link na sliku teksta zadatka)

Ovako izgleda puni zadatak i onda smo dosli do gore navedenih formula iz kojih se treba dobit rješenja.
Ja cu jos pogledat rješenja kod ostalih kolega, možda sam ja nesta krivo prepiso, pa vam javim.
Hvala puno na trudu i objašnjavanju!

Zaista nije bilo potrebe da kačiš sliku zadatka. Bilo je sasvim dovoljno da na pitanje

miletrans je napisao:Posebno mi pada u oči da su [inlmath]Q_1[/inlmath] i [inlmath]Q_2[/inlmath] reda veličine [inlmath]10^{-11}[/inlmath], a [inlmath]Q_3[/inlmath] je za devet redova veličine veći ([inlmath]10^{-2}[/inlmath]).

odgovoriš da si pogrešno napisao vrednost za [inlmath]Q_3[/inlmath] i da ne treba da piše [inlmath]Q_3=2\cdot10^{\color{red}-2}[/inlmath], već [inlmath]Q_3=2\cdot10^{\color{red}-11}[/inlmath]. Zar ne?

---

OK, s ovom ispravkom dobijaju se rešenja koja si naveo. Pogledah sad malo bolje jednačine [inlmath]1)[/inlmath], [inlmath]2)[/inlmath] i [inlmath]3)[/inlmath] i videh da su one međusobno zavisne, jer se iz jednačina [inlmath]1)[/inlmath] i [inlmath]3)[/inlmath], kad se izjednače njihove leve strane (pošto su im desne strane jednake), dobije jednačina [inlmath]2)[/inlmath]. Zato i ima smisla što postoji i četvrta (zapravo, treća nezavisna) jednačina, [inlmath]r_{12}+r_{23}=r_{13}[/inlmath].
Zbog toga, @miletrans, kad bismo radili tvojim postupkom, dobili bismo na kraju [inlmath]Q_3r_{12}^2=Q_3r_{12}^2[/inlmath], što nam ne govori ništa, a što je upravo posledica međusobne zavisnosti te tri jednačine.

Umesto toga, treba odabrati bilo koje dve jednačine od jednačina [inlmath]1)[/inlmath], [inlmath]2)[/inlmath] i [inlmath]3)[/inlmath] (tj. jednu od te tri jednačine ne uzimati u razmatranje), a kao treću jednačinu uzeti [inlmath]r_{12}+r_{23}=r_{13}[/inlmath].

Najlakše je da, za početak, uzmemo jednačinu [inlmath]2)[/inlmath], jer u njoj ne figuriše [inlmath]Q_2[/inlmath] koje je nepoznato. Umesto [inlmath]r_{23}[/inlmath] uvrstimo [inlmath]r_{13}-r_{12}[/inlmath] i dobijemo jednu kvadratnu jednačinu s jednom nepoznatom, [inlmath]r_{12}[/inlmath]. Ovde je još zgodno i [inlmath]Q_1[/inlmath] napisati kao [inlmath]3Q_3[/inlmath].
Rešavanjem kvadratne jednačine dobiće se dva rešenja, s tim što će jedno otpasti.
Nakon što se odredi [inlmath]r_{12}[/inlmath] (a samim tim i [inlmath]r_{23}[/inlmath]), lako se odredi i [inlmath]Q_2[/inlmath], kao jedina preostala nepoznata.

I ja budala ne skužim da sam krivo napisao
Stvarno ispricavam se i jedno veoma veliko hvala!