MATEMANIJA

Ovo su moji zadaci za popravni ispit iz matematike u 4. razredu elektrotehnika i računalstvo smjer elektrotehničar.
1.-4. znam riješit al dalje više ne.

No zamolio bih vas da ako je moguće napišete sve zadatke s detaljnim postupkom da mogu shvatit kako i što jer nije mi bitno naučit napamet i ispisat na testu, na usmenome dijelu ispita moram znati ne prolazi mi napamet naučeno.

Hvala

---

1. Izračunaj [inlmath]\frac{8!}{3!\cdot 5!}-\frac{9!}{2!\cdot 7!}=[/inlmath].

2. Nađi srednji član u razvoju binoma [inlmath]\left(\frac{1}{x}-\sqrt x\right)^{16}[/inlmath]

3. Broj [inlmath]z=-1-i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku. Koristeći taj oblik izračunaj [inlmath]z^{10}[/inlmath].

4. U aritmetičkom nizu sedmi član je [inlmath]-5[/inlmath], a trideset i drugi član je [inlmath]70[/inlmath]. odredi sedamnaesti član tog niza.

5. Nađi sumu reda [inlmath]\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}+\cdots[/inlmath]

6. Odredi funkciju [inlmath]f\circ g[/inlmath] i njenu domenu ako je [inlmath]f\left(x\right)=\log x,\; g\left(x\right)=5-2x[/inlmath].

7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/inlmath].

8. Deriviraj:[dispmath]\begin{array}{l} a)\;f\left(x\right)=\sqrt[3]x\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\\ \\ b)\;g\left(x\right)=\frac{3x+5}{2\sin x}\end{array}[/dispmath]
9.
a) Deriviraj [inlmath]f\left(x\right)=-x^3+3x^2[/inlmath]. Odredi stacionarne točke.
b) Pomoću druge derivacije odredi ekstreme.
c) Odredi nultočke funkcije. Pomoću njih i točaka ekstrema skiciraj graf funkcije.

PC-Stručnjak je napisao:8. Deriviraj:[dispmath]a)\;f\left(x\right)=\sqrt[3]x\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt[3]x\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=x^\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{3}{4}}[/dispmath]
Lakši je način da, pošto imamo jednake osnove u množenju, sada to svedemo na jednu osnovu, a eksponente saberemo i da tek onda od toga što smo dobili tražimo izvod:
[dispmath]f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{4}}=x^\frac{4-9}{12}=x^{-\frac{5}{12}}[/dispmath]
pa je izvod jednak
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^{-\frac{5}{12}}\right)'=-\frac{5}{12}x^{-\frac{5}{12}-1}=-\frac{5}{12}x^{-\frac{17}{12}}[/dispmath]
Ali, ako se traži da se izraz ne svodi na jednu osnovu već da se traži izvod primenom formule za proizvod funkcija, može i tako:
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{3}{4}}\right)'=\left(x^\frac{1}{3}\right)'\cdot x^{-\frac{3}{4}}+x^\frac{1}{3}\cdot\left(x^{-\frac{3}{4}}\right)'=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}\cdot x^{-\frac{3}{4}}+x^\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{4}\right)x^{-\frac{3}{4}-1}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\cdot x^{-\frac{3}{4}}-\frac{3}{4}x^\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{7}{4}}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}}-\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}-\frac{7}{4}}=\frac{1}{3}x^{-\frac{17}{12}}-\frac{3}{4}x^{-\frac{17}{12}}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}\right)x^{-\frac{17}{12}}=-\frac{5}{12}x^{-\frac{17}{12}}[/dispmath]
čime smo dobili isti rezultat kao i na prvi način.

PC-Stručnjak je napisao:[dispmath]b)\;g\left(x\right)=\frac{3x+5}{2\sin x}[/dispmath]

[dispmath]g'\left(x\right)=\left(\frac{3x+5}{2\sin x}\right)'=\frac{\left(3x+5\right)'\cdot 2\sin x-\left(3x+5\right)\left(2\sin x\right)'}{\left(2\sin x\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{3\cdot 2\sin x-\left(3x+5\right)\cdot 2\cos x}{4\sin^2 x}[/dispmath]
Podelimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{3\sin x-\left(3x+5\right)\cos x}{2\sin^2 x}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:9.
a) Deriviraj [inlmath]f\left(x\right)=-x^3+3x^2[/inlmath]. Odredi stacionarne točke.

[dispmath]f'\left(x\right)=\left(-x^3+3x^2\right)'=-3x^2+3\cdot 2x=6x-3x^2[/dispmath]Stacionarne tačke su one u kojima je izvod jednak nuli. U tim tačkama funkcija „stagnira“.[dispmath]f'\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]6x-3x^2+0\quad /:3[/dispmath][dispmath]2x-x^2=0[/dispmath][dispmath]x\left(2-x\right)=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad 2-x=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad x=2[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:b) Pomoću druge derivacije odredi ekstreme.

[dispmath]f''\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]'=\left(6x-3x^2\right)'=6-3\cdot 2x=6-6x[/dispmath][dispmath]x=0\quad\Rightarrow\quad f''\left(0\right)=6-0=6\quad\Rightarrow\quad f''\left(0\right)>0[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath] u tački [inlmath]x=0[/inlmath] imamo minimum; vrednost tog minimuma je [inlmath]f\left(0\right)=0[/inlmath]

[dispmath]x=2\quad\Rightarrow\quad f''\left(2\right)=6-12=-6\quad\Rightarrow\quad f''\left(2\right)<0[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath] u tački [inlmath]x=2[/inlmath] imamo maksimum; vrednost tog maksimuma je [inlmath]f\left(2\right)=-2^3+3\cdot 2^2=-8+3\cdot 4\mathop=4[/inlmath]

PC-Stručnjak je napisao:c) Odredi nultočke funkcije. Pomoću njih i točaka ekstrema skiciraj graf funkcije.

[dispmath]f\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]-x^3+3x^2=0[/dispmath][dispmath]x^2\left(-x+3\right)=0[/dispmath][dispmath]x^2=0\quad\lor\quad -x+3=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad x=3[/dispmath]Sad tebi još ostaje samo da skiciraš graf, što nije teško kad imaš sve ove elemente...

Pozz

PC-Stručnjak je napisao:6. Odredi funkciju [inlmath]f\circ g[/inlmath] i njenu domenu ako je [inlmath]f\left(x\right)=\log x,\; g\left(x\right)=5-2x[/inlmath].

Samo uvrstiš [inlmath]g(x)[/inlmath] u [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]f(x)[/inlmath] i gledaš domenu [inlmath]f(x)=\log(5-x)[/inlmath]

Pošto logaritam od [inlmath]0[/inlmath] nije moguće, pišeš uvjet
[dispmath]5-x\ne 0\\
x\ne 5[/dispmath]
i cili taj izraz mora bit veći od [inlmath]0[/inlmath]
[dispmath]5-x>0\\
-x>-5\\
x<5[/dispmath]
[dispmath]D(f)=\left<-\infty,5\right>[/dispmath]

^ Ispravka...

blake je napisao:Samo uvrstiš [inlmath]g(x)[/inlmath] u [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]f(x)[/inlmath] i gledaš domenu [inlmath]f(x)=\log(5-x)[/inlmath]

U argumentu logaritma treba da stoji [inlmath]5-2x[/inlmath], pošto je [inlmath]g\left(x\right)=5-2x[/inlmath].
I ta funkcija nije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], već [inlmath]f\circ g\left(x\right)[/inlmath]. Dakle, treba da piše[dispmath]f\circ g\left(x\right)=\log\left(5-2x\right)[/dispmath]Samim tim, dobiće se uslov definisanosti [inlmath]x<\frac{5}{2}[/inlmath] (a ne [inlmath]x<5[/inlmath]), pa će domen biti [inlmath]\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)[/inlmath].

PC-Stručnjak je napisao:1. Izračunaj [inlmath]\frac{8!}{3!\cdot 5!}-\frac{9!}{2!\cdot 7!}=[/inlmath].

[dispmath]\frac{8!}{3!\cdot 5!}- \frac{9!}{2! \cdot 7!}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{8\cdot 7\cdot{\color{blue}6}\cdot{\color{green}5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{{\color{green}5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\cdot{\color{blue}(3\cdot 2)}}-\frac{9\cdot{\color{purple}8}\cdot{\color{red}7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{{\color{red}7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\cdot{\color{purple}(2)}}=[/dispmath]
Skratiš sve što se može skratiti:
[dispmath]8\cdot 7-9\cdot 4=[/dispmath]
pomnožiš i oduzmeš:
[dispmath]\enclose{box}{20}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:5. Nađi sumu reda [inlmath]\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}+\cdots[/inlmath]

Prvi član reda iznosi [inlmath]a_1=\sqrt{\frac{3}{2}}[/inlmath], a količnik reda (odnos dva susedna člana) iznosi [inlmath]q=\frac{2}{3}[/inlmath].
Sumu računamo po formuli [inlmath]S=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], a pošto je ovde [inlmath]q<1[/inlmath], [inlmath]q^n[/inlmath] teži nuli kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath].

Prema tome,[dispmath]S=\frac{a_1}{1-q}[/dispmath][dispmath]S=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1-\frac{2}{3}}[/dispmath][dispmath]S=3\sqrt{\frac{3}{2}}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/inlmath].

[dispmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{x-2}=4-f\left(x\right)[/dispmath][dispmath]x-2=\left[4-f\left(x\right)\right]^3[/dispmath][dispmath]x=\left[4-f\left(x\right)\right]^3+2[/dispmath]tj.[dispmath]f^{-1}\left(x\right)=\left(4-x\right)^3+2[/dispmath]

Daniel je napisao:^ Ispravka...

Ups

PC-Stručnjak je napisao:7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=4-\sqrt[3]{x-2}[/inlmath].

Inverzna funkcija se obeležava sa [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath], i za nju važi da [inlmath]f^{-1}(x)\circ f(x)=x[/inlmath], tj. ona "daje" prvobitan [inlmath]x[/inlmath] koji je ubačen u funkciju [inlmath]f()[/inlmath].

Inverznu funkciju možeš naći tako što ćeš vrednost neke funkcije u tački [inlmath]x[/inlmath] proglasiti za [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]f(x)=y=4-\sqrt[3]{x-2}[/dispmath]
Sada samo zameniš mesta [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], i izraziš [inlmath]y[/inlmath] pomoću algebarskih transformacija:
[dispmath]x=4-\sqrt[3]{y-2}[/dispmath]
[dispmath]4-x=\sqrt [3]{y-2}[/dispmath]
[dispmath](4-x)^3=y-2[/dispmath]
[dispmath](4-x)^3+2=y[/dispmath]
I to je tražena funkcija:
[dispmath]\enclose{box}{f^{-1}(x)=(4-x)^3+2}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:2. Nađi srednji član u razvoju binoma [inlmath]\left(\frac{1}{x}-\sqrt x\right)^{16}[/inlmath]

Pošto je binom dignut na [inlmath]16.[/inlmath] stepen, razvoj će imati [inlmath]17[/inlmath] članova. Srednji član u tom razvoju biće, znači, [inlmath]9.[/inlmath] član.
Formula za opšti član razvoja binoma glasi[dispmath]{n\choose k}a^{n-k}b^k[/dispmath]a u ovom slučaju je [inlmath]n=16[/inlmath] (stepen na koji dižemo binom), [inlmath]k=8[/inlmath] ([inlmath]k[/inlmath] je za [inlmath]1[/inlmath] manje od rednog broja člana), [inlmath]a=\frac{1}{x}[/inlmath] i [inlmath]b=-\sqrt x[/inlmath]:
[dispmath]{16\choose 8}\left(\frac{1}{x}\right)^{16-8}\left(-\sqrt x\right)^8[/dispmath]i to onda malo sredimo:[dispmath]\frac{16!}{\left(16-8\right)!\cdot 8!}\left(x^{-1}\right)^8\cdot\cancelto{1}{\left(-1\right)^8}\cdot\left(x^\frac{1}{2}\right)^8[/dispmath][dispmath]\frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot\cancel{8!}}{8!\cdot\cancel{8!}}x^{-8}\cdot x^\frac{8}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{16\cdot\cancel{15}\cdot 14\cdot 13\cdot\cancel{12}\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{8\cdot 7\cdot\cancel 6\cdot\cancel 5\cdot 4\cdot\cancel 3\cdot\cancel 2}x^{-8+4}[/dispmath][dispmath]12870x^{-4}[/dispmath][dispmath]\frac{12870}{x^4}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:4. U aritmetičkom nizu sedmi član je [inlmath]-5[/inlmath], a trideset i drugi član je [inlmath]70[/inlmath]. odredi sedamnaesti član tog niza.

[dispmath]-5=a_1+6x\\
70=a_1+31x[/dispmath]
Oduzmeš drugu jednačinu od prve.
[dispmath]70-(-5)=a_1+31x-a_1-6x\\
75=25x\\
x=3[/dispmath]
Izračunaš [inlmath]a_1[/inlmath], tako što ćeš [inlmath]x[/inlmath] da ubaciš u prvu jednačinu.
[dispmath]-5=a_1+6x\\
a_1=-5-6x\\
a_1=-5-18\\
a_1=-23[/dispmath]
I sada možemo da izračunamo [inlmath]a_{17}[/inlmath].
[dispmath]a_{17}=a_1+16x\\
a_{17}=-23+48\\
\enclose{box}{a_{17}=25}[/dispmath]
@Daniel: Izvini nisam video da si već rešio ovaj s inverznom funkcijom
Edit: sređene greške

PC-Stručnjak je napisao:3. Broj [inlmath]z=-1-i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku. Koristeći taj oblik izračunaj [inlmath]z^{10}[/inlmath].

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja izgleda ovako [inlmath]z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/inlmath].
[inlmath]r[/inlmath] predstavlja modul nekog kompleksnog broja [inlmath]z=a+ib[/inlmath] i računa se kao [inlmath]r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath], to je u stvari udaljenot kompleksnog broja od početka koordinatnog sistema u kompleksnoj ravni [inlmath]\mathbb C[/inlmath].
[inlmath]\alpha[/inlmath] predstavlja argument kompleksnog broja [inlmath]\alpha=\arg(z)[/inlmath], tj. ugao koji modul zaklapa sa realnom osom.
Sada pronalazimo [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]\alpha[/inlmath].
[dispmath]r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{1+1}[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{2}[/dispmath]

[dispmath]\alpha=\mathrm{tg}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)+\pi[/dispmath]
[dispmath]=\mathrm{tg}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)+\pi[/dispmath]
[dispmath]=\frac{5 \pi}{4}=225^\circ[/dispmath]

[dispmath]z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/dispmath]
[dispmath]z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath]
Stepen kompleksnog broja dat je Moavrovom forulom
[dispmath]z^n=r^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)[/dispmath]
[dispmath]z^{10}={\sqrt{2}}^{10}\left(\cos 10\cdot\frac{5\pi}{4}+i\sin 10\cdot\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath]
[dispmath]z^{10}=32\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)[/dispmath]
[dispmath]z^{10}=0+i32[/dispmath]
Edit sređene greške

Hvala svima. U 9 cemo vidit kako ce ici na vjerojatno drugim zadacina istog tipa.
Hvala jos jednom!

Ajd, pa nek je sa srećom

Evoga i danasnji veseli zadaci. Na ovo nisam racuno, ove sto su bili skoro isti rijesio ostatak nemam pojma. Ako je eto netko voljab rijesit pa da znamo jesmo tocno rijesili. Hvala.

---

Popravni ispit na ljetnom ispitnom roku, školska 2012./2013.[inlmath]\qquad[/inlmath]03.07.2013.

1. Odrediti koeficijent uz [inlmath]x^3[/inlmath] u [inlmath]\left(3+4x\right)^6[/inlmath]

2. Riješi jednadžbu [inlmath]\frac{\left(n+2\right)!}{n!}=110[/inlmath]

3. Broj [inlmath]z=-1+i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku.

4. U aritmetičkom nizu peti član je [inlmath]19[/inlmath] a deseti [inlmath]39[/inlmath]. Odredi sumu prvih deset.

5. Nađi sumu reda [inlmath]2+\sqrt 2+1+\frac{\sqrt 2}{2}+\cdots[/inlmath]

6. Odredi područje definicije funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/inlmath].

7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x-3}{x+1}[/inlmath].

8. Deriviraj:
[dispmath]\begin{array}{l}a)\;f\left(x\right)=x^3\cdot\sqrt[3]{x^2}\\ \\b)\;g\left(x\right)=\frac{\sin x}{x-\cos x}\end{array}[/dispmath]
9.
a) Odredi stacionarne točke funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x^3-9x[/inlmath].
b) Pomoću druge derivacije odredi ekstreme.
c) Odredi nultočke funkcije. Pomoću njih i točaka ekstrema skiciraj graf funkcije.

Šta, već gotov test? Kad pre? Koliko je on uopšte trajao?

PC-Stručnjak je napisao:1. Odrediti koeficijent uz [inlmath]x^3[/inlmath] u [inlmath]\left(3+4x\right)^6[/inlmath]

Opšti član razvoja:[dispmath]{6\choose k}3^{6-k}\left(4x\right)^k[/dispmath]
[inlmath]k=3:[/inlmath]
[dispmath]{6\choose 3}3^{6-3}\left(4x\right)^3=\frac{6!}{\left(6-3\right)!\cdot 3!}3^3\cdot 4^3x^3=\frac{\cancel 6\cdot 5\cdot 4\cdot\cancel{3\cdot 2}}{\cancel{3\cdot 2}\cdot\cancel{3\cdot 2}}27\cdot 64x^3=34560x^3[/dispmath]
Znači, koeficijent uz [inlmath]x^3[/inlmath] je [inlmath]34560[/inlmath].

PC-Stručnjak je napisao:2. Riješi jednadžbu [inlmath]\frac{\left(n+2\right)!}{n!}=110[/inlmath]

[dispmath]\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)\cancel{n!}}{\cancel{n!}}=110[/dispmath][dispmath]n^2+3n+2=110[/dispmath][dispmath]n^2+3n-108=0[/dispmath][dispmath]n_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+432}}{2}=\frac{-3\pm 21}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{n_1=-12},\quad\underline{n_2=9}[/dispmath]Negativno rešenje odbacujemo, jer je faktorijel definisan samo za pozitivne brojeve (i nulu).

PC-Stručnjak je napisao:3. Broj [inlmath]z=-1+i[/inlmath] prikaži u trigonometrijskom obliku.

[dispmath]z=-1+i[/dispmath]
[dispmath]\rho=\sqrt{\left(-1\right)^2+1^2}=\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\varphi=\mathrm{arctg}\:\frac{1}{-1}+\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}[/dispmath]
Pošto je kompleksni broj u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu, na arkus tangens smo dodali [inlmath]\pi[/inlmath].
[dispmath]z=\sqrt 2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:4. U aritmetičkom nizu peti član je [inlmath]19[/inlmath] a deseti [inlmath]39[/inlmath]. Odredi sumu prvih deset.

[dispmath]\begin{array}{ll}
a_5=19 \\
a_{10}=39
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}
a_1+4d=19 & \left(1\right) \\
a_1+9d=39 & \left(2\right)
\end{array}[/dispmath]
Od [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] oduzmemo [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]5d=20\quad\Rightarrow\quad d=4[/dispmath]
Uvrštavanjem [inlmath]d=4[/inlmath] u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] dobijamo i [inlmath]a_1=3[/inlmath].
[dispmath]S_{10}=\frac{10}{2}\left(a_1+a_{10}\right)=5\left(a_1+a_1+9d\right)=5\left(2a_1+9d\right)=5\left(2\cdot 3+9\cdot 4\right)=210[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:5. Nađi sumu reda [inlmath]2+\sqrt 2+1+\frac{\sqrt 2}{2}+\cdots[/inlmath]

[dispmath]a_1=2,\quad q=\frac{1}{\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]S=a_1\frac{1-\cancelto{0}{q^n}}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{\sqrt 2}}=\frac{2\sqrt 2}{\sqrt 2-1}\cdot\frac{\sqrt 2+1}{\sqrt 2+1}=\frac{4+2\sqrt 2}{2-1}=2\left(2+\sqrt 2\right)[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:6. Odredi područje definicije funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/inlmath].

[dispmath]\sqrt{1-x}\ne 0\quad\Rightarrow\quad 1-x\ne 0\quad\Rightarrow\quad\underline{x\ne 1}[/dispmath][dispmath]1-x\ge 0\quad\Rightarrow\quad\underline{x\le 1}[/dispmath]Presek ova dva uslova je [inlmath]x<1[/inlmath], tj. [inlmath]D_f=\left(-\infty,1\right)[/inlmath]

PC-Stručnjak je napisao:7. Nađi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x-3}{x+1}[/inlmath].

[dispmath]y=\frac{x-3}{x+1}\quad /\cdot\left(x+1\right)[/dispmath]Uslov, [inlmath]x+1\ne 0[/inlmath], tj. [inlmath]x\ne -1[/inlmath][dispmath]y\left(x+1\right)=x-3[/dispmath][dispmath]xy+y=x-3[/dispmath]Na jednu stranu grupišemo sabirke koji sadrže [inlmath]x[/inlmath], na drugu sabirke koji ga ne sadrže:[dispmath]xy-x=-y-3[/dispmath][dispmath]x\left(y-1\right)=-y-3[/dispmath][dispmath]x=\frac{-y-3}{y-1}[/dispmath][dispmath]x=\frac{y+3}{1-y}[/dispmath][dispmath]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+3}{1-x}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:8. Deriviraj:
[dispmath]a)\;f\left(x\right)=x^3\cdot\sqrt[3]{x^2}[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=x^3\cdot\sqrt[3]{x^2}=x^3\cdot x^\frac{2}{3}=x^{3+\frac{2}{3}}=x^\frac{11}{3}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^\frac{11}{3}\right)'=\frac{11}{3}x^{\frac{11}{3}-1}=\frac{11}{3}x^{\frac{8}{3}}=\frac{11}{3}\sqrt[3]{x^8}[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:[dispmath]b)\;g\left(x\right)=\frac{\sin x}{x-\cos x}[/dispmath]

[dispmath]g'\left(x\right)=\left(\frac{\sin x}{x-\cos x}\right)'=\frac{\left(\sin x\right)'\left(x-\cos x\right)-\sin x\left(x-\cos x\right)'}{\left(x-\cos x\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{\cos x\left(x-\cos x\right)-\sin x\left[1-\left(-\sin x\right)\right]}{\left(x-\cos x\right)^2}=\frac{x\cos x-\cos^2 x-\sin x\left(1+\sin x\right)}{\left(x-\cos x\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]g'\left(x\right)=\frac{x\cos x-\cos^2 x-\sin x-\sin^2 x}{\left(x-\cos x\right)^2}=\frac{x\cos x-\sin x-1}{\left(x-\cos x\right)^2}[/dispmath]

Hvala na riješenjima, neki valjaju neki ne, a neke sam i mogo riješit, ali nisam mislio da to. A šta ću, dobro sad je usmeni pomaknut u ponedjeljak, pa sjest i ove zadatke dobro provježbat.

Hvala još jednom.

A ispit je trajao koliko je nama trebalo ali ne više mislim od 90 minuta, u 1 h sam napiso šta sam znao, no sad nemogu vjerovat ... neke stvari sam znao ali ništa od njih -.-

Evo još ovaj, kad sam ga već bio započeo, onda i da ga završim.

A ispit ni teoretski nije mogao trajati [inlmath]90[/inlmath] minuta, ako ti je počeo u [inlmath]9^\mathrm h[/inlmath]a već u [inlmath]10:09[/inlmath] si bio na forumu i okačio sliku testa...

PC-Stručnjak je napisao:9.
a) Odredi stacionarne točke funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x^3-9x[/inlmath].

[dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^3-9x\right)'=3x^2-9[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]3x^2-9=0\quad /:3[/dispmath][dispmath]x^2=3[/dispmath][dispmath]x=\pm\sqrt 3[/dispmath]

PC-Stručnjak je napisao:b) Pomoću druge derivacije odredi ekstreme.

[dispmath]f''\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]'=\left(3x^2-9\right)'=3\cdot 2x=6x[/dispmath]
[dispmath]x=-\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad f''\left(-\sqrt 3\right)=-6\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad f''\left(-\sqrt 3\right)<0[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath] u tački [inlmath]x=-\sqrt 3[/inlmath] imamo maksimum; vrednost tog maksimuma je [inlmath]f\left(-\sqrt 3\right)=\left(-\sqrt 3\right)^3-9\left(-\sqrt 3\right)=-3\sqrt 3+9\sqrt 3=6\sqrt 3[/inlmath]

[dispmath]x=\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad f''\left(\sqrt 3\right)=6\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad f''\left(\sqrt 3\right)>0[/dispmath][inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath] u tački [inlmath]x=\sqrt 3[/inlmath] imamo minimum; vrednost tog minimuma je [inlmath]f\left(\sqrt 3\right)=\left(\sqrt 3\right)^3-9\sqrt 3\mathop=3\sqrt 3-9\sqrt 3=-6\sqrt 3[/inlmath]

PC-Stručnjak je napisao:c) Odredi nultočke funkcije. Pomoću njih i točaka ekstrema skiciraj graf funkcije.

[dispmath]f\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]x^3-9x=0[/dispmath][dispmath]x\left(x^2-9\right)=0[/dispmath][dispmath]x\left(x+3\right)\left(x-3\right)=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\Rightarrow\quad x+3=0\quad\Rightarrow\quad x-3=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\Rightarrow\quad x=-3\quad\Rightarrow\quad x=3[/dispmath]
Grafik:

Nije trajao ... hehe to je predviđeno vrijeme, možeš otić kad hoćeš, a sliku sam s mobitela nakaćio