MATEMANIJA

Zdravo, da li bi neko mogao da mi pomogne oko ovog zadatka? Mucim se vec danima da ga resim pa bi mi svaka pomoc bila dobrodosla.

Za brojeve [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] ([inlmath]m,n>3[/inlmath]) postoji pravougaoni ram dimenzija [inlmath]m\times n[/inlmath] koji se sastoji od [inlmath]2m+2n-4[/inlmath] ivicnih kvadrata. Na slici je prikazan jedan takav ram dimenzija [inlmath]4\times7[/inlmath]
Na jednom takvom ramu Marko i Ana igraju sledecu igru po sledecim pravilima pri cemu Ana igra prva:
Igrac koji je na potezu boji jednu pravougaonu povrsinu koja se sastoji od jednog ili vise susednih belih kvadrata sve dok je to moguce (sve dok ima belih kvadrata)
Igrac koji poslednji odigra (koji oboji sve preostale kvadrate) je pobednik.
Odrediti sve parove [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] za koje Ana ima pobednicku strategiju.
Napomena: kvadrati koji se dodiruju samo u jednoj tacki nisu susedni, npr povrsine u obliku cirilicnog slova g nisu dozvoljene, odnosno “precvikane” povrsine. Ja sam probala da resim zadatak preko simetrije.

Dobrodošla na forum.

Kažeš da si pokušala da primeniš simetriju. Da li si pokušala sa centralnom simetrijom?
Ana u prvom koraku odabere jedan „pravougaonik“ i oboji ga. ( Možda je jednostavnije za razmišljanje ako, umesto bojenja, pravougaonik obrišemo.)
Da li si razmišljala kako će se igra odvijati, ako Marko u narednom potezu oboji pravougaonik koji je centralno simetričan sa onim koji je Ana obojila?

Shvatam, to sam i ja probala. Ako bi on “sklanjao” pravougaonike centralno simetricne u odnosu na centar rama onda bi uvek pobedio. Ili sam ja tu nesto pogresno uradila. Mozda je resenje da se nadju parovi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] tako da on nije u mogucnosti da preslika njene povrsine?

Iako nisi navela izvor zadatka (i komentar uz zadatak, ako postoji), pretostavljam da je zadatak dobro formulisan. A rečenica u postavci zadatka "Odrediti sve parove [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] za koje Ana ima pobedničku strategiju.", deluje pomalo zbunjujuće. Međutim, to ne mora da znači da takvi parovi postoje. Smatram da si dobro zaključila da drugi igrač, sa navedenom strategijom, uvek pobeđuje.

Prilicno sam sigurna da je ovo tekst zadatka, i verovatno je moguce da ne postoje takvi parovi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath].