MATEMANIJA

[inlmath]1.[/inlmath] Za podatke date u tablici

[inlmath]X_i[/inlmath]	[inlmath]\left<\,0,2\,\right][/inlmath]	[inlmath]\left<\,2,4\,\right][/inlmath]	[inlmath]\left<\,4,6\,\right][/inlmath]	[inlmath]\left<\,6,8\,\right][/inlmath]	[inlmath]\left<\,8,12\,\right][/inlmath]	[inlmath]\left<\,12,16\,\right][/inlmath]	[inlmath]\left<\,16,20\,\right][/inlmath]
[inlmath]f_i[/inlmath]	[inlmath]26[/inlmath]	[inlmath]27[/inlmath]	[inlmath]20[/inlmath]	[inlmath]10[/inlmath]	[inlmath]9[/inlmath]	[inlmath]5[/inlmath]	[inlmath]3[/inlmath]

[inlmath]a)[/inlmath] Odredite aritmetičku sredinu, medijan, mod, raspon, interkvartil, standardnu devijaciju i varijancu uzorka
[inlmath]b)[/inlmath] Nacrtajte histogram i poligon relativnih frekvencija

---

Do sada smo rješavali zadatke u kojima nismo imali razrede, već samo brojeve, pa mi je ovo malo novo
Opširnije o pojmovima koje sam naveo pod [inlmath]a)[/inlmath] i [inlmath]b)[/inlmath] može se naći ovdje.

I mene bi zanimao odgovor ako ga neko zna, jer zaista ne vidim način da tačno odredimo aritmetičku sredinu (a i ostale veličine), kada nam nisu poznate tačne vrednosti slučajne promenljive već samo intervali u kojima se njene vrednosti nalaze.

Ni ja iskreno nemam ideju kako bi se to izvelo, mada se odavde može proceniti u kom je intervalu aritmetička sredina.
[dispmath]\frac{0\cdot 26+2\cdot 27+4\cdot 20+6\cdot 10+8\cdot 9+12\cdot 5+16\cdot 3}{26+27+20+10+9+5+3}<\overline{X}\le\frac{2\cdot 26+4\cdot 27+6\cdot 20+8\cdot 10+12\cdot 9+16\cdot 5+20\cdot 3}{26+27+20+10+9+5+3}[/dispmath][dispmath]3,74<\overline{X}\le 6,08[/dispmath]
U principu je za potrebe problema moguće dodefinisati aritmetičku sredinu i za intervale (nekom konvencijom, recimo kao aritmetičku sredinu ovih krajnjih mogućih vrednosti), ali uz onu klasičnu definiciju aritmetičke sredine (koja je i jedina za koju znam) ne bih rekao da tako nešto može da se izračuna.

Mi smo iz statistike ovako radili:
Za svaki interval (recimo [inlmath]0,2[/inlmath]) racuna se sredina intervala ovako [dispmath]\frac{0+2}{2}[/dispmath] i to je [inlmath]1[/inlmath]. Sad to pomnozimo sa odgovarajucom frekvencijom (kod prvog intervala to je [inlmath]26[/inlmath]). I tako za svaki interval. Za izracunavanje aritmeticke sredine koristili smo forumulu:
[dispmath]\frac{\Sigma xf}{\Sigma f}[/dispmath]
Naravno tu je [inlmath]x[/inlmath] sredina intervala

Sto se tice modusa i medijane i tu postoje formule za izracunavanje iz intervalnih serija.
Ako su potrebne, javite.

Konvencija. Logična, doduše. S tim što moram naglasiti da se isti rezultat dobije i uz moju pretpostavku iz prethodnog posta na ovoj temi.

(nekom konvencijom, recimo kao aritmetičku sredinu ovih krajnjih mogućih vrednosti))

[dispmath]\overline{X}=\frac{6.08+3.74}{2}=4.91[/dispmath]
Isti rezultat se dobije ako se iskoristi postupak koji Miladin pominje.

E, super! Hvala, Miladine, za pojašnjenje, tj. za potvrdu Milovanove pretpostavke.

Što se tiče formula za modus i medijanu, pretpostavljam da su i one analogne odgovarajućim formulama iz PDF-a koji je eseper priložio, s tim da se i u njima, kao i u formuli za aritmetičku sredinu, umesto [inlmath]x[/inlmath] stavlja sredina odgovarajućeg intervala?

Bar smo mi ovu formulu za modus primenjivali u predmetu statistika:[dispmath]\mathrm{Mo}=l+\frac{f_2}{f_1+f_2}\cdot i[/dispmath]
gde je [inlmath]l[/inlmath] donja granica intervala u kome se nalazi modus (modalni interval), [inlmath]f_2[/inlmath] frekvencija intervala koji se nalazi iza modalnog, [inlmath]f_1[/inlmath] frekvencija intervala koji se nalazi ispred modalnog, [inlmath]i[/inlmath] duzina grupnog intervala.
U ovom slucaju modus se nalazi u intervalu [inlmath](2,4)[/inlmath]. Stoga je:[dispmath]l=2[/dispmath][dispmath]f_2=20[/dispmath][dispmath]f_1=26[/dispmath][dispmath]i=4-2=2[/dispmath]

Sto se tice medijane: [dispmath]\mathrm{Me}=l+\frac{i\cdot\left(\frac{n}{2}-\mathrm{cum}\:f_1\right)}{f_m}[/dispmath]
[inlmath]l[/inlmath] donja granica intervala u kome se nalazi medijana, [inlmath]i[/inlmath] duzina modalnog intervala, [inlmath]\mathrm{cum}\:f_1[/inlmath] kumulirana frekvencija koja prethodi frekvenciji modalnog intervala, [inlmath]f_m[/inlmath] frekvencija modalnog intervala.
Medijana se nalazi u intervalu [inlmath](2,4)[/inlmath] jer je [inlmath]26+27=53[/inlmath] a ukupan broj jedinica posmatranja je [inlmath]100[/inlmath], a do [inlmath]53[/inlmath] jedinica posmatranja se nalazi vrednost obelezja koje je u sredini serije. Dakle imamo:[dispmath]l=2[/dispmath][dispmath]i=2[/dispmath][dispmath]\mathrm{cum}\:f_1=26[/dispmath][dispmath]f_m=27[/dispmath][dispmath]\frac{n}{2}=\frac{100}{2}[/dispmath]

Puno hvala na opširnom i preciznom pojašnjenju pojmova!

Miladin Jovic je napisao:Bar smo mi ovu formulu za modus primenjivali u predmetu statistika:
[dispmath]\mathrm{Mo}=l+\frac{f_2}{f_1+f_2}\cdot i[/dispmath]

Modalna vrednost (takođe se naziva i modus ili moda) u oznaci [inlmath]\mathrm{\overline{M}_o}[/inlmath] (samo ovako, označavanje mode sa [inlmath]\mathrm{Mo}[/inlmath] nije primereno u matematičkoj statistici, takva oznaka koristi se za modalnu vrednost to jest najverovatniju vrednost slučajne promenljive u Teoriji verovatnoće, uostalom baš iz tog razloga se sve nepotpune karakteristike (parametri ili brojne karakteristike) uzorka i "nadvlače", osim oznaka [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]s^2[/inlmath] za standardno odstupanje (standardnu devijaciju) i varijansu (disperziju) uzorka, respektivno) jeste ona vrednost posmatranog obeležja osnovne populacije [inlmath]X[/inlmath] kojoj odgovara najveća frekvencija.

U datom primeru je uzorak neprekidan (kontinualan) i odgovara neprekidnom obeležju [inlmath]X[/inlmath]. Da je uzorak diskretan, nikakve dileme nema: moda je ta jedna vrednost sa najvećom frekvencijom. No, ovde se modalna vrednost nalazi negde unutar intervala [inlmath](2,4][/inlmath]. Sasvim je logično da predominantnu ulogu u određivanju mode ima upravo frekvencija modalne klase (ili razreda), a te frekvencije u citiranom izrazu za modu jednostavno nema. Ovo je potpuno nedopustivo sa aspekta Matematičke statistike. Tačno je da na vrednost mode utiču i susedna prethodna frekvencija ([inlmath]26[/inlmath]), kao i susedna naredna ([inlmath]20[/inlmath]), u smislu da će više "povući" ka svojoj klasi ova veća. To konkretno znači da je ovde moda znatno bliža levoj granici modalne klase ([inlmath]2[/inlmath]) nego desnoj ([inlmath]4[/inlmath]). Ne ulazeći u širu elaboraciju (svaka formula u statistici ima svoje "zašto" i svoje "zato", naravno ako je korektna), navodim i tačnu formulu po kojoj se moda računa u neprekidnom slučaju:
[dispmath]\mathrm{\overline{M}_o}=l+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}\cdot i[/dispmath]
Ovde se umesto [inlmath]l[/inlmath] i [inlmath]i[/inlmath] često koriste oznake [inlmath]L[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath], no to nije toliko bitno. Izmena u odnosu na citiranu formulu je upravo u sledećem:
[inlmath]\Delta_1[/inlmath] je razlika modalne frekvencije i susedne prethodne frekvencije
[inlmath]\Delta_2[/inlmath] je razlika modalne frekvencije i susedne naredne frekvencije
Ostalo navedeno u ovoj temi je uglavnom korektno.