MATEMANIJA

Imam jedno pitanje u vezi sa sledecom osobinom skalarnog proizvoda, ako mozete da potvrdite
Krecemo od
[dispmath]\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
Primenom kosinusne teoreme imamo (nacrtao bih sliku ali ne znam kako odnosno preko kojeg softvera to da uradim)
[dispmath]\left|\vec a-\vec b\right|^2=\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2-2\underbrace{\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)}_{\vec a\cdot\vec b}\\\left|\vec a-\vec b\right|^2=\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2-2\vec a\cdot\vec b\;\Leftrightarrow\;\vec a\cdot\vec b=\frac{\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2-\left|\vec a-\vec b\right|^2}{2}[/dispmath]
Da li je ovo validno? Zbunjen sam jer je jedan profesor na You Tube videu dobio rezultat
[dispmath]\vec a\cdot\vec b=\frac{\left|\vec a-\vec b\right|^2-\left|\vec a\right|^2-\left|\vec b\right|^2}{2}[/dispmath]
Sto je isto kao da je prethodnu jednacinu pomnozio sa [inlmath]-1[/inlmath] ali nije taj minus preneo na sve, naime nema minusa ispred [inlmath]\vec a\cdot\vec b[/inlmath]

Da, mogu da potvrdim da je tvoj postupak sasvim ispravan, a što se tiče rezultata koji je dobio profesor na YT-u, tu nešto definitivno ne štima, što se može i proveriti. Taj rezultat se može napisati i kao
[dispmath]\vec a\cdot\vec b=\frac{\left|\vec a-\vec b\right|^2-\left(\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2\right)}{2}[/dispmath]
U slučaju kada [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] grade oštar ugao, [inlmath]\vec a\cdot\vec b[/inlmath] je pozitivno, dok je [inlmath]\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2[/inlmath] veće od [inlmath]\left|\vec a-\vec b\right|^2[/inlmath], što znači da je [inlmath]\left|\vec a-\vec b\right|^2-\left(\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2\right)[/inlmath] negativno, iz čega sledi da je leva strana jednakosti pozitivna, a desna strana negativna.

U drugom slučaju, kada [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] grade tup ugao, [inlmath]\vec a\cdot\vec b[/inlmath] je negativno, dok je [inlmath]\left|\vec a-\vec b\right|^2[/inlmath] veće od [inlmath]\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2[/inlmath], što znači da je [inlmath]\left|\vec a-\vec b\right|^2-\left(\left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2\right)[/inlmath] pozitivno, iz čega sledi da je leva strana jednakosti negativna, a desna strana pozitivna.

Znači, ne slaže se ni u jednom slučaju.