MATEMANIJA

Ispitati linearnu nezavisnost u prostoru [inlmath]R^3[/inlmath]:
[dispmath]A=(1,1,0),\;B=(0,1,1),\;C=(0,0,1),\;D=(1,0,1)[/dispmath]
Primenom formule za linearnu nezavisnost došao sam do [inlmath]\delta=\beta=-\alpha[/inlmath] a [inlmath]\gamma=2\alpha[/inlmath] gde su [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath] prvi, drugi skalar itd.
Po ovome imamo proizvoljna rešenja.
I pitao bih, pošto ovde imamo četiri vektora, a dimenzija prostora je tri, da li to nekako može da utiče na rešenje, tj. da zaključimo koje je rešenje bez proveravanja nezavisnosti.

Miladin Jovic je napisao:Primenom formule za linearnu nezavisnost došao sam do [inlmath]\delta=\beta=-\alpha[/inlmath] a [inlmath]\gamma=2\alpha[/inlmath] gde su [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath] prvi, drugi skalar itd.
Po ovome imamo proizvoljna rešenja.

Pretpostavljam da si radio po formuli
[dispmath]\alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D=0[/dispmath][dispmath]\alpha\begin{bmatrix}
1\\
1\\
0
\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}
0\\
1\\
1
\end{bmatrix}+\gamma\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}+\delta\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}=0[/dispmath]
Jeste, dobio si tačna rešenja, tj. čim postoje netrivijalna rešenja, znači da je sistem linearno zavisan.

Miladin Jovic je napisao:I pitao bih, pošto ovde imamo četiri vektora, a dimenzija prostora je tri, da li to nekako može da utiče na rešenje, tj. da zaključimo koje je rešenje bez proveravanja nezavisnosti.

Tako je, kada je broj vektora veći od dimenzije prostora, sistem mora biti linearno zavisan. Ako je broj vektora manji ili jednak od dimenzije prostora, tada sistem može i ne mora biti linearno zavisan. Primer su dva vektora u ravni. Oni mogu i ne moraju biti linearno zavisni, ali, čak i ako su linearno nezavisni, tada će dodavanjem trećeg vektora u tu ravan sistem postati linearno zavisan, jer će tada svaki od ta tri vektora biti moguće izraziti kao linearnu kombinaciju preostala dva.

Zbog toga odmah znamo i da ova četiri vektora u trodimenzionalnom prostoru moraju činiti linearno zavisan sistem. Međutim, može se pokazati da će, bez obzira na to koji od ova četiri vektora da uklonimo, sistem postati linearno nezavisan. To jest, nikoja tri od ova četiri vektora nisu međusobno linearno zavisna.