MATEMANIJA

Za koje realno [inlmath]\lambda[/inlmath] iz linearne nezavisnosti [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] sledi i linearna nezavisnost vektora [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath]?

Sve mi je jasno do koraka [inlmath]\alpha\left(1-\lambda^2\right)=0[/inlmath]. Zašto tu baš mora da [inlmath]1+\lambda^2\ne0[/inlmath]? Ovde je verovatno zbog nekog prethodnog izraza, ali uopšte, zašto se uvek kod nekog proizvoda, recimo [inlmath]A\cdot B=0[/inlmath] uvek piše [inlmath]A\ne0[/inlmath] i [inlmath]B\ne0[/inlmath], a ne i ova mogućnost [inlmath]A=0,\;B=0[/inlmath].

Budući da iz ovoga možemo samo da nagađamo šta je [inlmath]\alpha[/inlmath], možeš li da napišeš kako si došao do koraka [inlmath]\alpha\left(1-\lambda^2\right)=0[/inlmath], jer ja, na koji god način da uradim, ne dolazim do tog izraza?
Mislim, verovatno je u tom izrazu [inlmath]\alpha[/inlmath] neki skalar, ali je iz ovog napisanog nejasno šta on predstavlja.

Izvini što nisam napisao postupak.
Da, [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath], [inlmath]\gamma[/inlmath] su skalari. Imamo izraz:
[dispmath]\alpha(\lambda x+y)+\beta(x+\lambda y)=0[/dispmath]
Kada to svedemo na u zadatku rečenu linearnu nezavisnost vektoa [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] imamo [inlmath](\alpha\lambda+\beta)\cdot x+(\alpha+\beta\lambda)\cdot\gamma=0[/inlmath]
Dobijamo sistem i tako dolazimo do [inlmath]\alpha-\alpha\lambda^2=0[/inlmath]

Pa, opet mi ništa novo nisi rekao. Napisao si samo ono što sam ionako i sâm znao – da postavljaš uslov linearne zavisnosti vektora [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha(\lambda X+Y)+\beta(X+\lambda Y)=0[/inlmath], odakle direktno sledi [inlmath]\left(\alpha\lambda+\beta\right)\cdot X+\left(\alpha+\beta\lambda\right)\cdot Y=0[/inlmath]. Ali, ono što sam te pitao, a što mi nisi objasnio, to je kako odatle dolaziš do jednakosti [inlmath]\alpha-\alpha\lambda^2=0[/inlmath].
Spominješ neki sistem – ja ovde vidim samo jednu jednačinu, a za sistem su potrebne najmanje dve jednačine. Kako glasi druga jednačina? Molim te, ako želiš da ti se pomogne, napiši lepo ceo postupak kako dolaziš do tog [inlmath]\alpha-\alpha\lambda^2=0[/inlmath].

Pa iz linearne nezavisnosti vektora [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] sledi sistem:
[dispmath]\alpha\lambda+\beta=0[/dispmath][dispmath]\alpha+\beta\lambda=0[/dispmath]
tj.
[dispmath]\beta=-\alpha\lambda[/dispmath][dispmath]\alpha-\alpha\lambda^2=0[/dispmath]

Znači, da rezimiram, ako sam dobro razumeo... Prvo pretpostavljaš linearnu zavisnost vektora [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath] (budući da si napisao jednačinu [inlmath]\alpha(\lambda X+Y)+\beta(X+\lambda Y)=0[/inlmath] pri čemu si dalje radio kao da [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] nisu nule), a zatim ispituješ kada će vektori [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] biti linearno nezavisni (tako što tražiš za koje će [inlmath]\lambda[/inlmath] u jednačini [inlmath]\left(\alpha\lambda+\beta\right)\cdot X+\left(\alpha+\beta\lambda\right)\cdot Y=0[/inlmath] važiti [inlmath]\alpha\lambda+\beta=0[/inlmath] i [inlmath]\alpha+\beta\lambda=0[/inlmath])?

Budući da u logici važi ekvivalencija
[dispmath]\left(p\Rightarrow q\right)\;\Leftrightarrow\;\left(\lnot q\Rightarrow\lnot p\right)[/dispmath]
to znači i da je iskaz „iz linearne nezavisnosti [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] sledi linearna nezavisnost [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath]“ (ono što se u zadatku traži) logički ekvivalentan iskazu „iz linearne zavisnosti [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath] sledi linearna zavisnost [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath]“. Prema tome, ti, zapravo, tražiš one vrednosti [inlmath]\lambda[/inlmath] za koje ono što se traži u zadatku neće biti ispunjeno, da bi, nakon toga, zaključio da [inlmath]\lambda[/inlmath] ne sme biti jednako tim dobijenim vrednostima, kako bi ono što se u zadatku traži bilo ispunjeno? Jesam li dobro razumeo princip po kojem radiš?

Znači, kad iz [inlmath]\alpha-\alpha\lambda^2=0[/inlmath] dobiješ da je [inlmath]\lambda=\pm1[/inlmath], odatle zaključuješ da mora važiti [inlmath]\lambda\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}[/inlmath] kako bi iz linearne nezavisnosti [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] sledila linearna nezavisnost [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath].

E sad, tvoje pitanje je bilo zašto ne uzimamo u obzir mogućnost [inlmath]\alpha=0[/inlmath]. Kada si napisao formulu linearne zavisnosti vektora [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath],
[dispmath]\alpha(\lambda X+Y)+\beta(X+\lambda Y)=0[/dispmath]
uslov linearne zavisnosti je taj, da postoji još neko rešenje po [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] osim trivijalnog ([inlmath]\alpha=\beta=0[/inlmath]). Međutim, i kad bi bilo koji od ova dva skalara, [inlmath]\alpha[/inlmath] ili [inlmath]\beta[/inlmath], bio jednak nuli, automatski bi i onaj drugi skalar bio jednak nuli, pa bi se to opet svelo na trivijalno rešenje (vektori [inlmath]\lambda X+Y[/inlmath] i [inlmath]X+\lambda Y[/inlmath] ne mogu biti nula-vektori, jer, kad bi makar jedan od njih bio nula-vektor, tada oni ne bi nikad mogli biti linearno nezavisni, kao što se u zadatku traži da budu). Znači, uslov linearne zavisnosti bi bio da su i [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] različiti od nule. Zbog toga se i jednačina [inlmath]\alpha\left(1-\lambda^2\right)=0[/inlmath] svodi samo na [inlmath]1-\lambda^2=0[/inlmath].