MATEMANIJA

Da li moze pomoc oko ovog zadatka?

Date su tacke [inlmath]A(3,1,-1)[/inlmath], [inlmath]B(m,-3,1)[/inlmath] [inlmath]C(2,-1,1)[/inlmath] i [inlmath]D(2,-m,2)[/inlmath].
Za koju vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] su vektori [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath] kolinearni?

E sad, znam da su vektori kolinearni ukoliko vazi [inlmath]\vec{AB}=k\cdot\vec{CD}[/inlmath].
[dispmath]\vec{AB}=(m-3,-4,2)\\
\vec{CD}=(0,-m+1,1)[/dispmath]
Na prvi pogled cini se da je [inlmath]m=3[/inlmath]. Ali to mi deluje previse jednostavno samim tim i sumnjivo.

Ono sto jos nisam sigurna je da li kod kolinearnih vektora njihov vektorski proizvod treba da bude jednak nuli ili intenzitet njihovog vektorskog proizvoda?
Uradila sa vektorski proizvod i dobila : [inlmath](2m-6)\vec i+(3-m)\vec j-(m-1)(m-3)\vec k=0[/inlmath]. Odavde je takodje [inlmath]m=3[/inlmath]. Ukoliko trazim intenzitet onda se dobije neki sasvim drugi broj za [inlmath]m[/inlmath].

Hvala!

I meni je [inlmath]m[/inlmath] isplao [inlmath]m=3[/inlmath].Uslov kolinearnosti vektora je da intenzitet vektorskog proizvoda bude jednak [inlmath]0[/inlmath]. Meni je ispao nula. A ne znam šta si ti dobila i kako. Ako možeš napiši taj postupak.

U pravu si, dobije se [inlmath]m=3[/inlmath] kada se uradi intenzitet. Pogresila sam u racunu.
Radila sam ovako:
Kada dobijem onaj vektorski proizvod onda uradim sledece:
[dispmath](2m-6)^2+(m-3)^2+\left(-m^2+4m-3\right)^2=0[/dispmath][dispmath]4(m-3)^2+(m-3)^2+(m-3)^2(m-1)^2=0[/dispmath]
Podelim celu sa [inlmath]m-3[/inlmath]

i posle racunanja dobijem [inlmath]m=3[/inlmath].
Da li postoji neki jos nacin za kolinearnost ili se uvek radi INTENZITET vektorskog proizvoda kada su data dva vektora?
Zbunila sam se jer sam u zbirkama videla da pise da su vektori kolinearni ako je [inlmath]a\times b=0[/inlmath], nigde ne pise u apsolutnim zagradama [inlmath]a\times b[/inlmath]. Pa sam zato shvatila da treba da se uradi samo vektoriski proizvod i onda se sve ono ispred i izjednaci sa nulom, sve ispred [inlmath]\vec j[/inlmath], i sve ispred [inlmath]\vec k[/inlmath].

Hvala!

Koliko ja znam uvijek se radi preko intenziteta vektorskog proizvoda.Tako ti je najjednostavnije.
Kako si dobila ovu jednačinu sa [inlmath]m[/inlmath] i izjednačila je sa nulom? Nije mi jasno.Ako si radila vektorski proizvod gdje su ti jedinični vektori [inlmath]\vec i,\vec j,\vec k[/inlmath] ?

[dispmath]\vec{AB}=(m-3,-4,2)\\
\vec{CD}=(0,1-m,1)[/dispmath]
[dispmath]\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
m-3 & -4 & 2 \\
0 & 1-m & 1
\end{vmatrix}[/dispmath]
i kada resim npr. Sarusom dobijem:
[dispmath](2m-6)\vec i+(3-m)\vec j+\left(-m^2+4m-3\right)\vec k[/dispmath]
Odatle sledi da ce i [inlmath]\vec{AB}\times\vec{CD}[/inlmath] biti jednak
[dispmath]\left(2m-6,3-m,-m^2+4m-3\right)[/dispmath]

Jasno mi je sada. Znači što se toga tiče sve je dobro i rješenja su ista kao kod mene.

Ok, hvala na pomoci!

@DankaV, iznad oznaka vektora ([inlmath]AB, CD, i, j, k[/inlmath]) obavezno treba pisati strelice, kako bi se znalo da su to vektori (komande \vec u Latex-u). Korigovao sam to.

DankaV je napisao:E sad, znam da su vektori kolinearni ukoliko vazi [inlmath]\vec{AB}=k\cdot\vec{CD}[/inlmath].
[dispmath]\vec{AB}=(m-3,-4,2)\\
\vec{CD}=(0,-m+1,1)[/dispmath]
Na prvi pogled cini se da je [inlmath]m=3[/inlmath]. Ali to mi deluje previse jednostavno samim tim i sumnjivo.

Da, može se [inlmath]m[/inlmath] odrediti i bez traženja vektorskog proizvoda. Kao što si i napisala, [inlmath]\vec{AB}=k\cdot\vec{CD}[/inlmath], a to znači
[dispmath]\left<m-3,-4,2\right>=k\cdot\left<0,-m+1,1\right>[/dispmath]
i odatle imaš tri jednačine,
[dispmath]m-3=k\cdot 0[/dispmath][dispmath]-4=k\cdot\left(-m+1\right>[/dispmath][dispmath]2=k\cdot 1[/dispmath]
i, ako taj sistem ima rešenje po [inlmath]m[/inlmath], tada vektori jesu kolinearni. A ovaj sistem ima rešenje po [inlmath]m[/inlmath], i to [inlmath]m=3[/inlmath], što dokazuje kolinearnost vektora.

DankaV je napisao:Ono sto jos nisam sigurna je da li kod kolinearnih vektora njihov vektorski proizvod treba da bude jednak nuli ili intenzitet njihovog vektorskog proizvoda?

I jedno i drugo. S tim, što jedno od ta dva automatski podrazumeva i ono drugo. Vektorski proizvod kolinearnih vektora je nula-vektor, a samim tim je onda intenzitet vektorskog proizvoda jednak nuli (intenzitet nula-vektora je, naravno, nula).
Ovo je logično, jer je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koji obrazuju ta dva vektora – pa, ako su ti vektori kolinearni, površina tog paralelograma je onda jednaka nuli, a samim tim je jednak nuli i intenzitet vektorskog proizvoda, što znači da je vektorski proizvod tada nula-vektor.

DankaV je napisao:[dispmath]4(m-3)^2+(m-3)^2+(m-3)^2(m-1)^2=0[/dispmath]
Podelim celu sa [inlmath]m-3[/inlmath]

Zapravo, sa [inlmath]\left(m-3\right)^2[/inlmath]. I prilikom deljenja sa [inlmath]\left(m-3\right)^2[/inlmath] moramo prvo diskutovati da li je [inlmath]\left(m-3\right)^2[/inlmath] jednako nuli ili različito od nule. Ako pretpostavimo da je jednako nuli, tada ne smemo deliti jednačinu tom vrednošću i rešenje je [inlmath]m=3[/inlmath] (kao što upravo i jeste slučaj). Ako pretpostavimo da je različito od nule, tada jednačinu delimo tom vrednošću i računamo dalje, pri čemu nećemo dobiti realna rešenja po [inlmath]m[/inlmath], dakle, jedino rešenje je [inlmath]m=3[/inlmath].

Kad postavljaš uslov da je neki vektor [inlmath]\left<a_x,a_y,a_z\right>[/inlmath] nula vektor (tj. da mu je intenzitet nula), tada uopšte ne moraš tražiti njegov intenzitet [inlmath]\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}[/inlmath] pa ga izjednačavati s nulom. To je nepotrebno komplikovanje. Dovoljno je samo da napišeš da je svaka od njegovih komponenata, [inlmath]a_x[/inlmath], [inlmath]a_y[/inlmath] i [inlmath]a_z[/inlmath], jednaka nuli.

DankaV je napisao:Da li postoji neki jos nacin za kolinearnost ili se uvek radi INTENZITET vektorskog proizvoda kada su data dva vektora?

Da, postoji, kao što sam gore već napisao – da se postavi sistem jednačina na osnovu [inlmath]\vec a=k\vec b[/inlmath] i ispituje da li postoji [inlmath]k[/inlmath] za koje će taj sistem biti zadovoljen.

DankaV je napisao:Zbunila sam se jer sam u zbirkama videla da pise da su vektori kolinearni ako je [inlmath]a\times b=0[/inlmath], nigde ne pise u apsolutnim zagradama [inlmath]a\times b[/inlmath].

Pa i ne mora da piše u apsolutnim zagradama. Ako je [inlmath]a\times b=0[/inlmath], odatle automatski sledi i da je [inlmath]\left|a\times b\right|=0[/inlmath]. I obratno.

Tek sad sam videla odgovor na moju dugu muku sa kolinearnoscu vektora, sada mi je potpuno jasno. Hvala!!!!