MATEMANIJA

neka su [inlmath]\vec i,\:\vec j,\:\vec k[/inlmath] tri linearno nezavisna vektora. Pokažite da su vektori [inlmath]\vec a=\vec i-\vec j+2\vec k,\:\vec b=-\vec i+2\vec j-\vec k,\:\vec c=\vec i+\vec j+3\vec k[/inlmath] linearno nezavisni i vektor [inlmath]\vec d=-2\vec i+9\vec j+3\vec k[/inlmath] prikažite kao njihovu lineranu kombinaciju.

ja sam ovdje dobio kako je [inlmath]\vec d=-7\vec a-\vec b+4\vec c[/inlmath] pa ako može netko riješit čisto da znam koliko sam blizu ili daleko od točnog riješenja

[dispmath]\vec{a}=\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k},\:\vec b=-\vec i+2\vec j-\vec k,\:\vec c=\vec i+\vec j+3\vec k[/dispmath]
Vektor [inlmath]\vec d=-2\vec i+9\vec j+3\vec k[/inlmath] ćemo prikazati kao kombinaciju [inlmath]\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c=\vec d[/inlmath].
[dispmath]\vec d=\alpha\left(\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\right)+\beta\left(-\vec i+2\vec j-\vec k\right)+\gamma\left(\vec i+\vec j+3\vec k\right)[/dispmath]
Odatle imamo sistem:
[dispmath]\begin{array}{l}
\alpha-\beta+\gamma=-2\\
-\alpha+2\beta+\gamma=9\\
2\alpha-\beta+3\gamma=3
\end{array}[/dispmath]
Rešenja su:
[dispmath]\begin{array}{l}
\alpha=5\\
\beta =7\\
\gamma =0
\end{array}[/dispmath]
Što se linearne nezavisnosti tiče, ona se može dokazati kroz [inlmath]\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c=\vec 0[/inlmath], pa razbijanjem na sistem, ili preko one determinante sa koeficijentima (što je u suštini isto)...

Iz ovoga možemo zaključiti da je vektor [inlmath]\vec d[/inlmath] linearna kombinacija vektora [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath], što geometrijski znači da je u istoj ravni, tj. komplanaran, s njima.

Eto, možeš, vežbe radi, pokušati da dokažeš linearnu zavisnost vektora [inlmath]\vec a[/inlmath], [inlmath]\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec d[/inlmath]. Ako ideš preko sistema jednačina, dobićeš da je sistem neodređen, tj. da trivijalno rešenje [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=0[/inlmath] nije jedino moguće rešenje, a ako ideš preko determinante, dobićeš da je vrednost determinante nula.