MATEMANIJA

treba odrediti ort vektora [inlmath]\vec x=\lambda\vec i-2\vec j+\vec k[/inlmath] koji je okomit na vektor [inlmath]\vec{AB}=2\vec i+3\vec j-4\vec k[/inlmath].

može li netko pokušati riješiti pa da mi pokuša pojasniti neke stvari

Uslov normalnosti (okomitosti) dva vektora je da je njihov skalarni proizvod jendak nuli. To je i logično, budući da je skalarni proizvod neka dva vektora [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] jednak
[dispmath]\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot \cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
Kada su ova dva vektora međusobno normalna (okomita), tada će ugao [inlmath]\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/inlmath] biti jednak [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], njegov kosinus će biti nula, pa će i ceo ovaj proizvod biti jednak nuli.

Skalarni proizvod dva vektora koja su izražena preko ort vektora [inlmath]\vec i[/inlmath], [inlmath]\vec j[/inlmath] i [inlmath]\vec k[/inlmath] je:
[dispmath]\vec a\cdot\vec b=\left(a_i\vec i+a_j\vec j+a_k\vec k\right)\cdot\left(b_i\vec i+b_j\vec j+b_k\vec k\right)=[/dispmath]
[dispmath]=a_ib_i\underbrace{\vec i\cdot\vec i}_1+a_ib_j\underbrace{\vec i\cdot\vec j}_0+a_ib_k\underbrace{\vec i\cdot\vec k}_0+a_jb_i\underbrace{\vec j\cdot\vec i}_0+a_jb_j\underbrace{\vec j\cdot\vec j}_1+a_jb_k\underbrace{\vec j\cdot\vec k}_0+a_kb_i\underbrace{\vec k\cdot\vec i}_0+a_kb_j\underbrace{\vec k\cdot\vec j}_0+a_kb_k\underbrace{\vec k\cdot\vec k}_1=[/dispmath]
[dispmath]=a_ib_i+a_jb_j+a_kb_k[/dispmath]
Kada to primenimo na ova naša dva zadata vektora,

[inlmath]\vec x=\lambda\vec i-2\vec j+\vec k[/inlmath]
[inlmath]\vec{AB}=2\vec i+3\vec j-4\vec k[/inlmath]

uz uslov da su međusobno normalni (okomiti), dobijamo:
[dispmath]2\lambda-2\cdot 3-4=0[/dispmath]
i odatle nađemo [inlmath]\lambda[/inlmath]:
[dispmath]\lambda=5[/dispmath]
Prema tome, vektor [inlmath]\vec x[/inlmath] je jednak

[inlmath]\vec x=5\vec i-2\vec j+\vec k[/inlmath]

Njegov ort, tj. jedinični vektor, dobićemo tako što ga podelimo njegovim intenzitetom.

Intenzitet nekog vektora [inlmath]\vec a[/inlmath] je jednak
[dispmath]\left|\vec a\right|=\sqrt{a_i^2+a_j^2+a_k^2}[/dispmath]
pa će intenzitet našeg vektora [inlmath]\vec x[/inlmath] biti
[dispmath]\left|\vec x\right|=\sqrt{x_i^2+x_j^2+x_k^2}=\sqrt{5^2+2^2+1^2}=\sqrt{30}[/dispmath]
Ort vektora [inlmath]\vec x[/inlmath] će biti:
[dispmath]\frac{\vec x}{\left|\vec x\right|}=\frac{5}{\sqrt{30}}\:\vec i-\frac{2}{\sqrt{30}}\:\vec j+\frac{1}{\sqrt{30}}\:\vec k[/dispmath]
ili, posle racionalizacije:
[dispmath]\frac{\vec x}{\left|\vec x\right|}=\frac{\sqrt{30}}{6}\:\vec i-\frac{\sqrt{30}}{15}\:\vec j+\frac{\sqrt{30}}{30}\:\vec k[/dispmath]
Sad izvoli, pitaj to što treba pojasniti.

svaka čast, sve objašnjeno i pojašnjeno