MATEMANIJA

Neka su [inlmath]ABCD[/inlmath] i [inlmath]EFGH[/inlmath] četverokuti, a [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] secišta spojnica polovišta nasuprotnih stranica tih četverokuta. Dokaži da vredi:
[dispmath]\vec{AE}+\vec{BF}+\vec{CG}+\vec{DH}=4\vec{MN}[/dispmath]
Nije potrebno rešavat ceo zadatak već me samo zanima kako da izrazim [inlmath]\vec{OM}[/inlmath] ili [inlmath]\vec{ON}[/inlmath] (bilo koji, a drugog ću sam). Kada se raspiše tvrdnja dobiju se dva dela koja se dele sa [inlmath]4[/inlmath], jedan deo je [inlmath]\vec{OM}[/inlmath], a drugi [inlmath]\vec{ON}[/inlmath]. Ja nikako ne mogu [inlmath]\vec{ON}[/inlmath] i [inlmath]\vec{OM}[/inlmath] napisat na takav način.

Hvala.

A zašto bi uopšte radio preko [inlmath]\vec{OM}[/inlmath] i [inlmath]\vec{ON}[/inlmath]?
Možeš ovako – obeležiš središta stranica prvog četvorougla sa [inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath], [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] (gde je [inlmath]P[/inlmath] središte stranice [inlmath]AB[/inlmath] itd.) a središta stranica drugog četvorougla sa [inlmath]T[/inlmath], [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]V[/inlmath] i [inlmath]W[/inlmath] (gde je [inlmath]T[/inlmath] središte stranice [inlmath]EF[/inlmath] itd.) I onda izraziš [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] preko tih središta:
[dispmath]\vec{MN}=\vec{MP}+\vec{PA}+\vec{AE}+\vec{ET}+\vec{TN}[/dispmath]
Na isti način izraziš [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] i preko ostalih središta, dobićeš četiri jednačine koje zatim sabereš i uočiš šta se tu pokrati...

---

Ako je potrebno dokazati da je [inlmath]\vec{PM}=\vec{MR}[/inlmath] i [inlmath]\vec{QM}=\vec{MS}[/inlmath], tj. da se duži koje spajaju središta naspramnih stranica međusobno polove, to se dokazuje tako što se dokaže da je [inlmath]\vec{PQ}=\vec{SR}[/inlmath] i [inlmath]\vec{QR}=\vec{PS}[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]PQRS[/inlmath] paralelogram, pa se [inlmath]PR[/inlmath] i [inlmath]QS[/inlmath], kao njegove dijagonale, međusobno polove. Slično i za drugi četvorougao.