MATEMANIJA

Odredi vektor [inlmath]\vec d[/inlmath] okomit na vektore [inlmath]\vec a=\vec i+\vec j[/inlmath] i [inlmath]\vec b=\vec j+\vec k[/inlmath] koji s vektorom [inlmath]\vec c=\vec k[/inlmath] zatvara tupi kut te takav da vektori [inlmath]\vec a+\vec b,\vec c,3\vec d[/inlmath] razapinju paralelopiped volumena [inlmath]18[/inlmath].

S obzirom da je traženi vektor [inlmath]\vec d[/inlmath] okomit na [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath], za dobivanje vektora [inlmath]\vec d[/inlmath] primjenim vektorski produkt.
Dobijem [inlmath]\vec d=\pm\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)[/inlmath]. Kako znati treba li odabrati [inlmath]+[/inlmath] ili [inlmath]-[/inlmath]?
Uvjet je (valjda): kut [inlmath]\angle\left(\vec d,\vec c\right)<180^\circ[/inlmath] ili kut [inlmath]\angle\left(\vec d,\vec c\right)>90^\circ[/inlmath] (s obzirom da se radi o tupom kutu)... . Uglavnom, ta mi informacija treba, ostatak zadatka mi se ne čini težak

eseper je napisao:Uvjet je (valjda): kut [inlmath]\angle\left(\vec d,\vec c\right)<180^\circ[/inlmath] ili kut [inlmath]\angle\left(\vec d,\vec c\right)>90^\circ[/inlmath] (s obzirom da se radi o tupom kutu)... . Uglavnom, ta mi informacija treba, ostatak zadatka mi se ne čini težak

Sve ti je ovo u redu, zadatak je zanimljiv, ti si ga i rešio nego...
Ovo tvoje "ili" meni baš nije razumljivo, molim te pojasni mi to.
Kako ja to gledam (možda nisam u pravu) ako je ugao manji od [inlmath]180^\circ[/inlmath] ili veći od [inlmath]90^\circ[/inlmath] onda jedno isključuje drugo. Zar ne treba reći da je ugao manji od [inlmath]180^\circ[/inlmath] i veći od [inlmath]90^\circ[/inlmath] (to je sasvim u skladu sa tvojom konstatacijom da je ugao tup).

eseper je napisao:za dobivanje vektora [inlmath]\vec d[/inlmath] primjenim vektorski produkt.
Dobijem [inlmath]\vec d=\pm\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)[/inlmath].

Vektorskim produktom ne možeš odrediti vektor [inlmath]\vec d[/inlmath], već samo možeš odrediti njegov pravac (ne i intenzitet i smer).
Zbog toga nije korektno pisati [inlmath]\vec d=\pm\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)[/inlmath], već treba [inlmath]\vec d=\lambda\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)[/inlmath], gde je [inlmath]\lambda[/inlmath] neki skalar koji treba odrediti. Predznak skalara [inlmath]\lambda[/inlmath] (a time i smer vektora [inlmath]\vec d[/inlmath]) određuješ iz uslova da je ugao [inlmath]\angle\left(\vec d,\vec c\right)[/inlmath] tup (primeni skalarni proizvod), a apsolutnu vrednost skalara [inlmath]\lambda[/inlmath] (a time i intenzitet vektora [inlmath]\vec d[/inlmath]) određuješ iz uslova da je apsolutna vrednost mešovitog proizvoda vektora [inlmath]\vec a+\vec b,\vec c,3\vec d[/inlmath] jednaka [inlmath]18[/inlmath].

@desideri, u pravu si, nije ili nego i

Daniel je napisao:

eseper je napisao:za dobivanje vektora [inlmath]\vec d[/inlmath] primjenim vektorski produkt.
Dobijem [inlmath]\vec d=\pm\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)[/inlmath].

Vektorskim produktom ne možeš odrediti vektor [inlmath]\vec d[/inlmath], već samo možeš odrediti njegov pravac (ne i intenzitet i smer).
Zbog toga nije korektno pisati [inlmath]\vec d=\pm\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)[/inlmath], već treba [inlmath]\vec d=\lambda\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)[/inlmath], gde je [inlmath]\lambda[/inlmath] neki skalar koji treba odrediti. Predznak skalara [inlmath]\lambda[/inlmath] (a time i smer vektora [inlmath]\vec d[/inlmath]) određuješ iz uslova da je ugao [inlmath]\angle\left(\vec d,\vec c\right)[/inlmath] tup (primeni skalarni proizvod).

Možeš li napisati cijeli postupak za ovaj dio?

Neću ceo. Očekujem od tebe da ćeš biti malo ambiciozniji.

Pošto je ugao [inlmath]\angle\left(\vec d,\vec c\right)[/inlmath] tup, tj. [inlmath]\frac{\pi}{2}<\angle\left(\vec d,\vec c\right)<\pi[/inlmath], šta možemo zaključiti o predznaku skalarnog proizvoda vektora [inlmath]\vec d[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath] (koji je dat formulom [inlmath]\vec d\cdot\vec c=\left|\vec d\right|\cdot\left|\vec c\right|\cdot\cos\angle\left(\vec d,\vec c\right)[/inlmath])? Da li je on pozitivan ili negativan?

Kad si to odredio, onda izračunaš taj skalarni proizvod prema koordinatama tih vektora: [inlmath]\vec d=\left<\lambda,-\lambda,\lambda\right>[/inlmath] i [inlmath]\vec c=\left<0,0,1\right>[/inlmath]. Skalarni proizvod dobijaš kao zbir proizvoda odgovarajućih koordinata, tj.
[dispmath]\vec d\cdot\vec c=d_xc_x+d_yc_y+d_zc_z=\lambda\cdot0+\left(-\lambda\right)\cdot0+\lambda\cdot1=\lambda[/dispmath]
Dakle, možeš li iz ovoga zaključiti koji je predznak skalara [inlmath]\lambda[/inlmath]?

Pozitivan

Sada bih trebao dobiti [inlmath]\lambda[/inlmath] iz formule za paralelopiped? Kada uvrstim sve što se traži u determinantu, a to je [inlmath](1,2,1),(0,0,1),(0,0,3\lambda)[/inlmath], dobije se ništa, odnosno da traženi vektor ne postoji. Opet sam skrenuo sa staze?

eseper je napisao:Pozitivan

Polako, polako... Koji si predznak dobio za skalarni proizvod [inlmath]\vec d\cdot\vec c[/inlmath], a koji predznak za skalar [inlmath]\lambda[/inlmath]?

eseper je napisao:Sada bih trebao dobiti [inlmath]\lambda[/inlmath] iz formule za paralelopiped? Kada uvrstim sve što se traži u determinantu, a to je [inlmath](1,2,1),(0,0,1),(0,0,3\lambda)[/inlmath], dobije se ništa, odnosno da traženi vektor ne postoji. Opet sam skrenuo sa staze?

Pogrešno si uvrstio vektor [inlmath]3\vec d[/inlmath].

Za skalarni proizvod minus, jer je [inlmath]\cos[/inlmath] na tom području negativan?
Za skalar [inlmath]\lambda[/inlmath] plus. I što na kraju odabrati, minus ili plus?

Uglavnom, sada sam kao konačno rješenje dobio [inlmath]\vec d=(-2, 2, -2)[/inlmath]

Da, skalarni proizvod jeste negativan. I, ako si radio prema uputstvima koje sam ti dao,

Daniel je napisao:[dispmath]\vec d\cdot\vec c=d_xc_x+d_yc_y+d_zc_z=\lambda\cdot0+\left(-\lambda\right)\cdot0+\lambda\cdot1=\lambda[/dispmath]

trebalo bi da si i za skalar [inlmath]\lambda[/inlmath] dobio da je negativan, jer je, zapravo, skalar [inlmath]\lambda[/inlmath] jednak skalarnom proizvodu.

Kako god, krajnji rezultat, [inlmath]\vec d=\left<-2,2,-2\right>[/inlmath], jeste tačan.