MATEMANIJA

Potrebna mi je pomoc iz vektorske algebre ,pa ako neko neko ima volje/vremena/znanja.

Date su tacke [inlmath]A(-1,1,2),\;B(3,2,-2),\;C(5,3,-4),\;D(10,2,-8)[/inlmath]

1) duzine stranica trougla [inlmath]ABC[/inlmath].
2) projekciju vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec{AC}[/inlmath]
3) skalar [inlmath]\left(2\vec{AB}-\vec{AC}\right)\vec{AD}[/inlmath]
4) povrsinu trougla [inlmath]ABC[/inlmath]
5) zapreminu piramide [inlmath]ABCD[/inlmath]

Resenje :
1,2,3 ne znam da resim i tu mi je potrebna pomoc.

4.
[dispmath]\vec{AB}(4,1,-4)\\
\vec{AC}(6,2,-6)\\
\vec{AD}(11,1,10)\\
P_{abc}=\frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|[/dispmath][dispmath]\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
4 & 1 & -4\\
6 & 2 & -6
\end{vmatrix}=-6\vec i-24\vec j+8\vec k-\left(-24\vec j-8\vec i+6\vec k\right)=2\vec i+2\vec k[/dispmath][dispmath]P_{abc}=\frac{1}{2}\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4\cdot2}=\frac{1}{2}2\sqrt2=\sqrt2[/dispmath]
5.
[dispmath]V_p=\frac{1}{3}\left|\left(\vec{AB}\times\vec{AC}\right)\cdot\vec{AD}\right|[/dispmath][dispmath]\left(\vec{AB}\times\vec{AC}\right)\cdot\vec{AD}=2\vec i+2\vec k\cdot11\vec i+1\vec j+10\vec k=22+20=42[/dispmath][dispmath]V_p=\frac{1}{3}|42|=\frac{42}{3}=14[/dispmath]
Jos samo jedna stvar oko zapremine piramide me zbunjuje ,a to je da li se u ovom slucaju stavlja [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath]?

1. Dužina stranice je udaljenost između njenih temena. Dakle, potrebno je pronaći udaljenost tačaka (temena stranica) [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] koristeći formulu [inlmath]d(A,B)=\sqrt{(A_x-B_x)^2+(A_y-B_y)^2+(A_z-B_z)^2}[/inlmath]. Slično i za druge stranice.

2. Projekcija vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] je vektor [inlmath]\vec{AP}[/inlmath] koji je paralelan s vektorom [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] i ima intenzitet dat formulom [inlmath]\left|\vec{AB}\right|\cos(\angle BAC)[/inlmath]. Ovde možeš iskoristiti jednakost [inlmath]\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\left|\vec{AB}\right|\left|\vec{AC}\right|\cos(\angle BAC)[/inlmath]. Sam vektor [inlmath]\vec{AP}[/inlmath] dobijaš kada intenzitet pomnožiš jediničnim vektorom [inlmath]\overset{\frown}{AC}=\frac{\vec{AC}}{\left|\vec{AC}\right|}[/inlmath].

3. Pomnoži vektor [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] skalarom [inlmath]2[/inlmath] i od toga oduzmi vektor [inlmath]\vec{AC}[/inlmath]. To sve pomnoži (skalarno) sa [inlmath]\vec{AD}[/inlmath].
4. Dobro je.
5. Imaš jednu grešku, [inlmath]\vec{AD}=(11,1,{\color{red}10})[/inlmath]. Koristi se [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath], zato što je baza trougao (a površina trougla je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] površine paralelograma).

Zahvaljujem se na tako brzom odgovoru ,kao i ispravci ,svaka cast,mnogo si mi pomogao.
Kasnije cu editovati post sa resenim zadatkom.Hvala jos jednom.

@psy,
pre svega dobro došao(la) na forum.
Postavljanje više zadataka u jednoj temi nije u skladu s Pravilnikom našeg foruma.
No ti si sam i rešio (dobro, uz jednu sitnu grešku) dva zadatka od postavljenih, što znači da misliš i na druge.
A ovo je za svaku pohvalu:

psy je napisao:Kasnije cu editovati post sa resenim zadatkom.Hvala jos jednom.

@desideri
hvala ,primljeno k znanju, za sledeci put cu znati.

Resenje zadataka :
1.Zadatak
[dispmath]d(A,B)=\sqrt{(-1-3)^2+(1-2)^2+\left(2-(-2)^2\right)}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(4)^2}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{16+16+1}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{33}[/dispmath]

[dispmath]d(A,C)=\sqrt{(-1-5)^2+(1-3)^2+\left(2-(-4)^2\right)}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(6)^2}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{36+4+36}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{76}[/dispmath]

[dispmath]d(B,C)=\sqrt{(3-5)^2+(2-3)^2+\left(2-(-4)^2\right)}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(2)^2}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{4+1+4}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{9}=3[/dispmath]
[dispmath]AC=CA,\;AB=BA,\;BC=CB[/dispmath]

2.Zadatak
[dispmath]\mathrm{Pr}\left(\vec{AB}\right)=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\vec{AC}}[/dispmath]
[dispmath]\vec{AB}\cdot\vec{AC}=(4,1,-4)\cdot(6,2,-6)=24+2+24=50[/dispmath][dispmath]\left|\vec{AC}\right|=\sqrt{(6)^2+(2)^2+(-6)^2}=\sqrt{36+4+36}=\sqrt{76}[/dispmath][dispmath]\mathrm{Pr}(AB)=\frac{50}{\sqrt{76}}[/dispmath]
pitanje : da li treba izracunati i preko ove formule: [inlmath]\mathrm{Pr}(AB)=\mathrm{Pr}(AB)\cdot\frac{\vec{AC}}{\left|\vec{AC}\right|}[/inlmath] ?

3.Zadatak
[dispmath]\left(2\vec{AB}-\vec{AC}\right)\vec{AD}=\big(2\cdot(4,1,-4)-(6,2,-6)\big)\cdot(11,1,-10)=\\
=\big((8,2,-8)-(6,2,-6)\big)\cdot(-11,1,-10)=(2,0,-2)\cdot(-11,1,-10)=(-22,0,20)[/dispmath]

4.Zadatak
[dispmath]\vec{AB}(4,1,-4)\\
\vec{AC}(6,2,-6)\\
\vec{AD}(11,1,-10)\\
P_{abc}=\frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|[/dispmath][dispmath]\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
4 & 1 & -4\\
6 & 2 & -6
\end{vmatrix}=-6\vec i-24\vec j+8\vec k-\left(-24\vec j-8\vec i+6\vec k\right)=2\vec i+2\vec k[/dispmath][dispmath]P_{abc}=\frac{1}{2}\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4\cdot2}=\frac{1}{2}2\sqrt2=\sqrt2[/dispmath]

5. Zadatak
[dispmath]V_p=\frac{1}{6}\left|\left(\vec{AB}\times\vec{AC}\right)\cdot\vec{AD}\right|[/dispmath][dispmath]\left(\vec{AB}\times\vec{AC}\right)\cdot\vec{AD}=2\vec i+2\vec k\cdot11\vec i+1\vec j-10\vec k=22-20=2[/dispmath][dispmath]V_p=\frac{1}{6}|2|=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/dispmath]

Nadam se da je dobro ,ako ne ,molio bih vas da me ispravite.
Btw ,Duzina=Intenzitet?
Ako je tako ,onda mogu da pisem [inlmath]\left|\vec{AB}\right|[/inlmath] unesto [inlmath]d(A,B)[/inlmath] ?

psy je napisao:Btw ,Duzina=Intenzitet?
Ako je tako ,onda mogu da pisem [inlmath]\left|\vec{AB}\right|[/inlmath] unesto [inlmath]d(A,B)[/inlmath] ?

Tako je.

---

1. zadatak
Sve OK uz primedbu da imaš neke greščice tokom postupka, kao npr.

psy je napisao:[dispmath]d(A,B)=\sqrt{(-1-3)^2+(1-2)^2+{\color{red}\left({\color{black}2-(-2)}^2\right)}}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{(-{\color{red}2})^2+(-1)^2+(4)^2}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{16+16+1}[/dispmath]

ali, budući da nisu prenošene u sledeći red, to pripisujem omaškama u kucanju (verovatno zbog neuhodanosti s Latexom).

I, uvek je poželjno da pod korenom ostaviš što manji broj, tj. da sve što možeš izvučeš ispred korena. Znači,

psy je napisao:[dispmath]=\sqrt{36+4+36}[/dispmath][dispmath]=\sqrt{76}[/dispmath]

Sad je ovo poželjno da napišeš kao
[dispmath]\sqrt{76}=\sqrt{4\cdot19}=\sqrt4\cdot\sqrt{19}=2\sqrt{19}[/dispmath]

---

2. zadatak

psy je napisao:[dispmath]\left|\vec{AC}\right|=\sqrt{(6)^2+(2)^2+(-6)^2}=\sqrt{36+4+36}=\sqrt{76}[/dispmath]

Kao što si i sam primetio, [inlmath]d\left(A,C\right)=\left|\vec{AC}\right|[/inlmath], tako da nije bilo potrebe da ponovo ovo računaš, budući da si [inlmath]d\left(A,C\right)[/inlmath] već izračunao pod 1).
Inače je rezultat OK.

psy je napisao:pitanje : da li treba izracunati i preko ove formule: [inlmath]\mathrm{Pr}(AB)=\mathrm{Pr}(AB)\cdot\frac{\vec{AC}}{\left|\vec{AC}\right|}[/inlmath] ?

U tekstu zadatka nije precizirano da li se traži skalarna ili vektorska projekcija. Ako se traži skalarna projekcija, onda ne treba množiti jediničnim vektorom [inlmath]\frac{\vec{AC}}{\left|\vec{AC}\right|}[/inlmath]. Ako se traži vektorska projekcija, onda je potrebno pomnožiti tim jediničnim vektorom.

---

3. zadatak

psy je napisao:[dispmath]\left(2\vec{AB}-\vec{AC}\right)\vec{AD}=\big(2\cdot(4,1,-4)-(6,2,-6)\big)\cdot(11,1,-10)=\\
=\big((8,2,-8)-(6,2,-6)\big)\cdot(-11,1,-10)=(2,0,-2)\cdot(-11,1,-10)={\color{red}(-22,0,20)}[/dispmath]

I, tebi skalarni proizvod ispade – vektor. Ne valja ti taj poslednji korak. Sve do [inlmath]\left(2,0,-2\right)\cdot\left(-11,1,-10\right)[/inlmath] ti je ispravno, ali skalarni proizvod zatim određuješ tako što sabereš proizvode njihovih odgovarajućih komponenata:
[dispmath]\cdots=\left(2,0,-2\right)\cdot\left(-11,1,-10\right)=2\cdot\left(-11\right)+0\cdot1+\left(-2\right)\cdot\left(-10\right)=-22+0+20=-2[/dispmath]

---

4. zadatak
Sve OK

---

5. zadatak
Sve OK osim što su ti u ovom delu,

psy je napisao:[dispmath]\left(\vec{AB}\times\vec{AC}\right)\cdot\vec{AD}={\color{red}2\vec i+2\vec k\cdot11\vec i+1\vec j-10\vec k}=22-20=2[/dispmath]

potrebne zagrade:
[dispmath]\cdots=\left(2\vec i+2\vec k\right)\cdot\left(11\vec i+1\vec j-10\vec k\right)=\cdots[/dispmath]
Kad zagrada ne bi bilo, prvo bi se izvršavala operacija skalarnog množenja (pošto ona ima prioritet, slično standardnom množenju) pa tek onda sabiranja.

Hvala na ispravci i sugestijama.