MATEMANIJA

Heei pozdrav, evo vase dosade opet haha..imam opet par zadataka ako nije problem, stvarno su mi potrebni..e ovako glasi prvi:

U pravilnom šestouglu [inlmath]ABCDEF[/inlmath] su dani vektori [inlmath]\vec{AB}=\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec{AE}=\vec n[/inlmath]. Razložiti pomoću ta dva vektora vektore [inlmath]\vec{AC},\:\vec{AD},\:\vec{AF},\:\vec{EF}[/inlmath].

Nacrtana slika je pola rešenog zadatka:


Sa slike vidimo da su vektori koji su zadati, [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath], međusobno normalni, prvi je u horizontalnom pravcu, a drugi u vertikalnom, tako da će horizontalna komponenta svakog traženog vektora moći da se izrazi preko umnoška vektora [inlmath]\vec m[/inlmath], a vertikalna komponenta svakog traženog vektora moći će da se izrazi preko umnoška vektora [inlmath]\vec n[/inlmath].

Evo kako bi to izgledalo na primeru prvog od tih traženih vektora, vektora [inlmath]\vec{AC}[/inlmath]:


Horizontalna komponenta vektora [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] jednaka je vektoru [inlmath]\vec m[/inlmath], uvećanom za njegovu polovinu, tj. jednaka je [inlmath]\frac{3}{2}\vec m[/inlmath], a vertikalna komponenta je jednaka polovini vektora [inlmath]\vec n[/inlmath], tj. jednaka je [inlmath]\frac{1}{2}\vec n[/inlmath]. To je sa slike, pretpostavljam, očigledno.
Prema tome,
[dispmath]\vec{AC}=\frac{3\vec m+\vec n}{2}[/dispmath]
Za [inlmath]\vec{AD}[/inlmath] je još lakše, mislim da ne mora čak ni da se crta posebna slika, odmah se vidi:
[dispmath]\vec{AD}=\vec m+\vec n[/dispmath]
Bi umela sad da uradiš isto to za preostala dva vektora, [inlmath]\vec{AF}[/inlmath] i [inlmath]\vec{EF}[/inlmath]? Treba da se dobije
[dispmath]\vec{AF}=\frac{\vec n-\vec m}{2}[/dispmath]
i
[dispmath]\vec{EF}=-\frac{\vec m+\vec n}{2}[/dispmath]

Hmm mi smo to nekako radili kao npr [inlmath]\vec{AD}=-\vec{EA}[/inlmath] (lupam).uglavnom vise racunski, nacrtamo sliku i onda racunski radimo to.haha..pa onda sve mi nekako ispetljano, nista nisam skontala haha, mislim tvoje sam skontala, ali na casu to sto smo radili nisam, haha da se razumijemo..ako nije problem samo da mi detaljnije objasnis kako se dobiju ti vektori,vise racunski nekako ako moze, to poslije 2.slike..

indira-aa je napisao:Hmm mi smo to nekako radili kao npr [inlmath]\vec{AD}=-\vec{EA}[/inlmath] (lupam).uglavnom vise racunski, nacrtamo sliku i onda racunski radimo to.haha..

Slika se obavezno nacrta, to je prvo što treba uraditi. To što u ovom postupku koji sam izložio nije bilo previše računa, to je zbog toga što se sa slike vidi sve što je potrebno da bi se odmah došlo do rezultata.

indira-aa je napisao:ako nije problem samo da mi detaljnije objasnis kako se dobiju ti vektori,vise racunski nekako ako moze, to poslije 2.slike..

Nije problem, naravno, samo nema tu baš puno računa, sve se, kao što rekoh, vidi sa slike. Uočiš ove jednakostranične trouglove iz kojih se sastoji šestougao. A kod jednakostraničnog trougla znaš da, kad iz nekog temena povučemo visinu na naspramnu stranicu, ta visina će deliti tu stranicu na dva jednaka dela, tj. svaki od ta dva dela biće jednak polovini te stranice. Zbog toga je horizontalna komponenta vektora [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] jednaka zbiru vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath], tj. vektora [inlmath]\vec m[/inlmath], i polovine vektora [inlmath]\vec m[/inlmath] – to je na slici onaj sivkasto obojeni „produžetak“ vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath], ali koji iznosi polovinu vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath], jer je to polovina stranice jednakostraničnog trougla čija je jedna stranica [inlmath]BC[/inlmath], a iz temena [inlmath]C[/inlmath] je povučena visina na horizontalu.
Da je vertikalna komponenta vektora [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] jednaka vektoru [inlmath]\vec n[/inlmath], još je očiglednije. Vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] predstavlja zbir visina dva jednakostranična trougla iz kojih se sastoji osnova, a pošto su te visine jednake, taj vektor je jednak dvostrukoj vrednosti visine jednog od tih jednakostraničnih trouglova. Sa slike vidimo da je vertikalna komponenta vektora [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] jednaka upravo toj visini jednakostraničnog trougla, tj. jednaka je polovini vektora [inlmath]\vec n[/inlmath].

Heeeei..ja sam napredovala hahaha..evo kako sam ja to skontala:
[dispmath]\vec{AD}=\vec{AE}+\vec{ED}=\vec{AE}+\vec{AB}=\vec n +\vec m[/dispmath]
[dispmath]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CB}=\vec{AB}+\vec{AD}=\vec m+\frac{1}{2}\vec n+\vec m=\frac{3\vec m+\vec n}{2}[/dispmath]
[dispmath]\vec{EF}=-\vec{FE}=-\frac{1}{2}\vec{AD}=-\frac{1}{2}\vec n+\vec m=-\frac{\vec n+\vec m}{2}[/dispmath]
Eh sad jos ne znam kako za [inlmath]\vec AF[/inlmath]

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec{AD}=\vec{AE}+\vec{ED}=\vec{AE}+\vec{AB}=\vec n+\vec m[/dispmath]

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CB}=\vec{AB}+\vec{AD}=\vec m+\frac{1}{2}\vec n+\vec m=\frac{3\vec m+\vec n}{2}[/dispmath]

rezultat je ispravan, ali postupak nije.

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec{EF}=-\vec{FE}=-\frac{1}{2}\vec{AD}=-\frac{1}{2}\vec n+\vec m=-\frac{\vec n+\vec m}{2}[/dispmath]

s tim da u pretposlednjem koraku [inlmath]-\frac{1}{2}\vec n+\vec m[/inlmath] treba da stoji zagrada: [inlmath]-\frac{1}{2}\left(\vec n+\vec m\right)[/inlmath]


Što se tiče vektora [inlmath]\vec{AF}[/inlmath]:
[dispmath]\vec{AF}=\frac{1}{2}\vec{BE}=\frac{1}{2}\left(\vec{BA}+\vec{AE}\right)=\frac{1}{2}\left(-\vec{AB}+\vec{AE}\right)=\frac{1}{2}\left(-\vec m+\vec n\right)=\frac{\vec n-\vec m}{2}[/dispmath]
P.S. Vidim da odlično savladavaš Latex, svaka čast.

Hmm hvala hvala, ma ucili smo mi pisati u Ltex-u, ali na pravom programu, a ovako mi malo bilo cudno, nebicno,ali za svaku pohvalu, na dosjetki..nego sta sam pogrijesila, pa kako ide onda? :// I da ima zagrada, samo sto je to meni u svesci svasta ispisano, jer ja to kad vi uradite, sjednem pa vjezbam , pokusavam skontati, na neki svoj nacin hahaha, trudim se haha..pa tako da sam je izostavila ovdje haha

Hm, pa u ovom tvom postupku

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CB}=\vec{AB}+\vec{AD}=\vec m+\frac{1}{2}\vec n+\vec m=\frac{3\vec m+\vec n}{2}[/dispmath]

Nema baš nijednog koraka koji je ispravan.

Prvi korak,

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CB}[/dispmath]

očigledno ne valja. [inlmath]\vec{AB}+\vec{CB}[/inlmath] bi bilo [inlmath]\vec{FA}[/inlmath] ili [inlmath]\vec{DC}[/inlmath], a nikako ne može biti [inlmath]\vec{AC}[/inlmath]. Zatim,

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec{AB}+\vec{CB}=\vec{AB}+\vec{AD}[/dispmath]

Ovo bi značilo da je [inlmath]\vec{CB}=\vec{AD}[/inlmath], što, ako pogledamo sliku, vidimo da nikako ne može biti tačno. Pa onda,

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec{AB}+\vec{AD}=\vec m+\frac{1}{2}\vec n+\vec m[/dispmath]

OK, [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] jeste jednako [inlmath]\vec m[/inlmath], ali odakle to da je [inlmath]\vec{AD}=\frac{1}{2}\vec n+\vec m[/inlmath]? [inlmath]\vec{AD}[/inlmath] je jednako [inlmath]\vec n+\vec m[/inlmath]. I, poslednji korak,

indira-aa je napisao:[dispmath]\vec m+\frac{1}{2}\vec n+\vec m=\frac{3\vec m+\vec n}{2}[/dispmath]

Ne, već bi izraz na levoj strani bio jednak [inlmath]\frac{2\vec m+\vec n}{2}[/inlmath], ali eto, na neki čudan način, potrefilo se da nakon svih ovih grešaka, dobiješ tačan rezultat.


A sad, uputstvo kako možeš da radiš. [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] napiši kao [inlmath]\vec{AB}+\vec{BC}[/inlmath], a zatim [inlmath]\vec{BC}[/inlmath] napiši kao [inlmath]\frac{1}{2}\vec{AD}[/inlmath], a vektor [inlmath]\vec{AD}[/inlmath] si već rešila, tako da ti to neće biti problem...