MATEMANIJA

Evo zadatak.. i VELIKO HVALA ZA SVE!! PRAVI STE!

Neka su [inlmath]A'[/inlmath], [inlmath]B'[/inlmath] i [inlmath]C'[/inlmath] središta kvadrata konstruisanih izvana nad stranicama [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]CA[/inlmath], [inlmath]AB[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath].
Dokazati jednakost [inlmath]\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}=0[/inlmath].

Ja sam to dokazao koristeći vektorski proizvod. Ne tvrdim da ne može dokazati i jednostavnije, ali zasad mi jedino ovaj način pada na pamet.

Označićemo sa [inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath] središta stranica kvadrata, kao na slici:


Tada je
[dispmath]\vec{AA'}=\vec{AB}+\vec{BP}+\vec{PA'}[/dispmath][dispmath]\vec{BB'}=\vec{BC}+\vec{CQ}+\vec{QB'}[/dispmath][dispmath]\vec{CC'}=\vec{CA}+\vec{AR}+\vec{RC'}[/dispmath]
pa kad saberemo ove tri jednakosti, dobićemo
[dispmath]\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}=\underbrace{\left(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}\right)}_0+\left(\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}\right)+\left(\vec{PA'}+\vec{QB'}+\vec{RC'}\right)[/dispmath]
pri čemu je
[dispmath]\vec{PA'}=\frac{1}{2}\vec{BC}[/dispmath][dispmath]\vec{QB'}=\frac{1}{2}\vec{CA}[/dispmath][dispmath]\vec{RC'}=\frac{1}{2}\vec{AB}[/dispmath]
pa je
[dispmath]\vec{PA'}+\vec{QB'}+\vec{RC'}=\frac{1}{2}\underbrace{\left(\vec{BC}+\vec{CA}+\vec{AB}\right)}_0=0[/dispmath]
i ostaje da je
[dispmath]\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}=\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}[/dispmath]
Ako dokažemo da je [inlmath]\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}=0[/inlmath], dokazali smo i da je [inlmath]\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}=0[/inlmath].

Uvešćemo jedinični vektor [inlmath]\vec i[/inlmath] čiji je pravac normalan na ravan crteža, a smer je „prema dole“, tj. usmeren je od posmatrača.

Posmatramo vektorski proizvod vektorskog zbira [inlmath]\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}[/inlmath] i jediničnog vektora [inlmath]\vec i[/inlmath]:
[dispmath]\left(\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}\right)\times\vec i=\vec{BP}\times\vec i+\vec{CQ}\times\vec i+\vec{AR}\times\vec i=\vec{PA'}+\vec{QB'}+\vec{RC'}[/dispmath]
Pošto je već ranije pokazano da je [inlmath]\vec{PA'}+\vec{QB'}+\vec{RC'}=0[/inlmath], znači da je i
[dispmath]\left(\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}\right)\times\vec i=0[/dispmath]
Pošto su vektori [inlmath]\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}[/inlmath] i [inlmath]\vec i[/inlmath] međusobno normalni, a [inlmath]\vec i[/inlmath] nije nula-vektor, to znači da [inlmath]\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}[/inlmath] mora biti nula-vektor. Time je dokazano i da je [inlmath]\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}[/inlmath] nula-vektor.

Svaka cast, kad cu ja tako znati, nikad haha..a kako znam da su vektori [inlmath]\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0[/inlmath]?na kraju da pisem [inlmath]0[/inlmath] ili nulvektor? nema veze je li tako? a moze li se nekako rijesiti bez vektorskog proizvoda ili ne moze, nismo jos to ucili? hvala puno

indira-aa je napisao:a kako znam da su vektori [inlmath]\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0[/inlmath]?

Zato što se početak svakog nadovezuje na kraj drugog, a kraj poslednjeg predstavlja početak prvog vektora. Drugim rečima, kad se ta tri vektora nadovežu jedan na drugi, rezultanta (tj. njihov zbir), čiji početak je u početku prvog vektora, a završetak joj je u završetku poslednjeg vektora, jednaka je nuli, jer se ovde početak prvog vektora i završetak poslednjeg poklapaju, tj. predstavljaju jednu istu tačku. Znaš sabiranje vektora?
Vektor [inlmath]\vec{BC}[/inlmath] se nadovezuje na vektor [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath] i njihov zbir daje vektor [inlmath]\vec{AC}[/inlmath]. Zatim se na taj vektor [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] nadovezuje još vektor [inlmath]\vec{CA}[/inlmath], koji je jednak i po intenzitetu i po pravcu, a suprotan po znaku, pa njihovim sabiranjem dobijamo nulu.
Vidi, nije nikakav problem da ti mi ovde pojasnimo i pomognemo, ali nije preporučljivo da se previše uzdaš u ovaj forum, ipak moraš ponešto naučiti i iz knjige, jer ovo su zaista elementarne stvari.

indira-aa je napisao:na kraju da pisem [inlmath]0[/inlmath] ili nulvektor? nema veze je li tako?

Nema veze, naravno. Nula jabuka mu dođe isto što i nula krompira. Zato uz nulu nije obavezno pisati mernu jedinicu [inlmath]\left(0\mbox{ kg},\; 0\mbox{ km}\dots\right)[/inlmath], jer će nula pomnožena tom mernom jedinicom, svejedno, dati nulu.

indira-aa je napisao:a moze li se nekako rijesiti bez vektorskog proizvoda ili ne moze, nismo jos to ucili? hvala puno

Kao što napisah, ne isključujem mogućnost da može. Razmisliću.

Uvešćemo jedinični vektor [inlmath]\vec i[/inlmath] čiji je pravac normalan na ravan crteža, a smer je „prema dole“, tj. usmeren je od posmatrača.

Posmatramo vektorski proizvod vektorskog zbira [inlmath]\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}[/inlmath] i jediničnog vektora [inlmath]\vec i[/inlmath]:
[dispmath]\left(\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}\right)\times\vec i=\vec{BP}\times\vec i+\vec{CQ}\times\vec i+\vec{AR}\times\vec i=\vec{PA'}+\vec{QB'}+\vec{RC'}[/dispmath]
Pošto je već ranije pokazano da je [inlmath]\vec{PA'}+\vec{QB'}+\vec{RC'}=0[/inlmath], znači da je i
[dispmath]\left(\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}\right)\times\vec i=0[/dispmath]
Pošto su vektori [inlmath]\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}[/inlmath] i [inlmath]\vec i[/inlmath] međusobno normalni, a [inlmath]\vec i[/inlmath] nije nula-vektor, to znači da [inlmath]\vec{BP}+\vec{CQ}+\vec{AR}[/inlmath] mora biti nula-vektor. Time je dokazano i da je [inlmath]\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}[/inlmath] nula-vektor.

Eeh ja sam isla i pitala za ovaj zadatak prof, kaze da ovaj vektorski proizvod nije dobar, da to probam izraziti kao na osnovu stranica, kao i ono prije tog sto si dokazao da je [inlmath]0[/inlmath], na isti način.

Taj deo dokaza sa vektorskim proizvodom je potpuno tačan, a sama dosetka da se to tako radi prilično lepa po mom ukusu.

Jeste to uredu i po meni, ali kad prof ne prihvata, to ubija haha

A koje mu je obrazloženje?

Inače, ne mora se koristiti vektorski proizovod da bi se to dokazalo, ali je Danielov dokaz apsolutno tačan!

Iz sinusne teoreme primenjene na [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]:
[dispmath]AC\sin A=BC\sin B[/dispmath]
Ako se vektori [inlmath]\vec{BC}[/inlmath] i [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] projektuju na pravac vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath]:
[dispmath]AB=BC\cos B+AC\cos A[/dispmath]
Vektori se mogu translirati kako god, a da to ne menja suštinu problema, pa hajde da ih ([inlmath]\vec{CQ},\:\vec{AR},\:\vec{BP}[/inlmath]) transliramo tako da ih sve dovedemo do zajedničkog početka:


Da bi bilo: [inlmath]\vec{CQ}+\vec{AR}+\vec{BP}=\vec{0}[/inlmath]
Mora biti i:
[dispmath]CQ\sin A=BP\sin B\\
AR=BP\cos B+CQ\cos A[/dispmath]
Pošto je [inlmath]BP=\frac{BC}{2},\:CQ=\frac{AC}{2}[/inlmath] i [inlmath]AR=\frac{AB}{2}[/inlmath]
ovo je ekvivalentno sa:
[dispmath]AC\sin A=BC\sin B\\
AB=BC\cos B+AC\cos A[/dispmath]
Oba uslova su ispunjena (početak dokaza), pa je samim tim
[dispmath]\vec{CQ}+\vec{AR}+\vec{BP}=\vec{0}[/dispmath]

Eeh znate kako sam ja to dokazala, samo ne znam da li je ispravno.

.
Obiljezila sam [inlmath]M[/inlmath],[inlmath]N[/inlmath] i [inlmath]O[/inlmath].

Onda sam napisala da je [dispmath]\vec{BP}=\frac{1}{2}\vec{BM},[/dispmath][dispmath]\vec{CQ}=\frac{1}{2}\vec{CN},[/dispmath][dispmath]\vec{AR}=\frac{1}{2}\vec{AO}.[/dispmath]To jest, da je to sve jednako [inlmath]\frac{1}{2}\left(\vec{BM}+\vec{CN}+\vec{AO}\right)[/inlmath]. Aa,vektore [inlmath]\vec{BM},\:\vec{CN},\:\vec{AO}[/inlmath] sam napisala da su isti kao i vektori [inlmath]\vec{BC},\:\vec{CA},\:\vec{AB}[/inlmath], pa je to onda [inlmath]\frac{1}{2}\cdot 0=0[/inlmath].

Recite mi da je tacno hahaha,,obradujte mee haha

indira-aa je napisao:Aa,vektore [inlmath]\vec{BM},\:\vec{CN},\:\vec{AO}[/inlmath] sam napisala da su isti kao i vektori [inlmath]\vec{BC},\:\vec{CA},\:\vec{AB}[/inlmath]

Ovaj deo ne valja, jer pravac i smer zamenjenih vektora nisu isti.