MATEMANIJA

Evo zadataka ne fali ih haha:

Odrediti površinu paralelograma čije su dijagonale vektori [inlmath]\vec{d_1}=3\vec m+3\vec n[/inlmath] i [inlmath]\vec{d_2}=\vec m-\vec n[/inlmath], gdje su [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath] jedinični vektori koji zatvaraju ugao od [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath].

[dispmath]\vec{d_1}=3\vec m+3\vec n,\quad\vec{d_2}=\vec m-\vec n,\quad\left|\vec m\right|=\left|\vec n\right|=1,\quad\angle\left(\vec m,\vec n\right)=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
Pošto su [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath] jednakih intenziteta a pod uglom, oni će predstavljati stranice romba, a pošto kod romba dijagonale zaklapaju prav ugao, to će zbir ta dva vektora (koji predstavlja jednu dijagonalu romba) sa razlikom ta dva vektora (koja predstavlja drugu dijagonalu romba) takođe zaklapati prav ugao:
[dispmath]\angle\left(\vec m+\vec n,\vec m-\vec n\right)=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad\angle\left(3\vec m+3\vec n,\vec m-\vec n\right)=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad\angle\left(\vec{d_1},\vec{d_2}\right)=\frac{\pi}{2}[/dispmath]
Pošto su [inlmath]\vec{d_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{d_2}[/inlmath] međusobno pod pravim uglom, znači da će traženi paralelogram, čije su dijagonale [inlmath]\vec{d_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{d_2}[/inlmath] biti – romb.
Površina romba, izražena preko dijagonala, jeste
[dispmath]P=\frac{1}{2}d_1d_2[/dispmath]
pa će površina traženog romba biti
[dispmath]P=\frac{1}{2}\left|\vec{d_1}\right|\cdot\left|\vec{d_2}\right|[/dispmath]
Treba naći intenzitete vektora [inlmath]\vec{d_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{d_2}[/inlmath]:
[dispmath]\left|\vec{d_1}\right|=\left|3\vec m+3\vec n\right|=3\left|\vec m+\vec n\right|=3\cdot 2\left|\vec m\right|\cdot\cos\frac{\angle\left(\vec m,\vec n\right)}{2}=6\cos\frac{\pi}{12}[/dispmath]
[dispmath]\left|\vec{d_2}\right|=\left|\vec m-\vec n\right|=2\left|\vec m\right|\sin\frac{\angle\left(\vec m,\vec n\right)}{2}=2\sin\frac{\pi}{12}[/dispmath]
I, površina traženog paralelograma, tj. romba, biće
[dispmath]P=\frac{1}{2}\cdot 6\cos\frac{\pi}{12}\cdot 2\sin\frac{\pi}{12}=3\sin\frac{\pi}{6}=\frac{3}{2}[/dispmath]

Po meni jednostavniji nacin:
[dispmath]\left|\vec{d_1}\right|=?[/dispmath][dispmath]\left|\vec{d_1}\right|^2=\left(3\vec m+3\vec n\right)\cdot\left(3\vec m+3\vec n\right)=\cdots =18+9\sqrt 3=9\left(2+\sqrt 3\right)[/dispmath][dispmath]\left|\vec{d_1}\right|=\sqrt{9\left(2+\sqrt 3\right)}=3\sqrt{2+\sqrt 3}[/dispmath]
Tako nadjemo i [inlmath]\left|\vec{d_2}\right|[/inlmath]:
[dispmath]\left|\vec{d_2}\right|^2=\left(\vec m-\vec n\right)\cdot\left(\vec m-\vec n\right)=\cdots =2-\sqrt 3[/dispmath][dispmath]\left|\vec{d_2}\right|=\sqrt{2-\sqrt 3}[/dispmath]
I onda uvrstimo u formulu za povrsinu i dobijemo isti rezultat [inlmath]P=\frac{3}{2}[/inlmath].