MATEMANIJA

Evo ih jos haha.. HVALA VAM SVIMA <3 <3 <3 <3

Vektor [inlmath]\vec r[/inlmath] zatvara s koordinatnim osama jednake oštre uglove. Odrediti uglove i komponente vektora [inlmath]\vec r[/inlmath] ako je [inlmath]\left|\vec r\right|=2\sqrt 3[/inlmath].

Vektor se nalazi pod uglom od [inlmath]45[/inlmath] stepeni u odnosu na koordinatne ose.
Primenom Pitagorine teoreme se dobijaju komponente vektora koje iznose [inlmath]a=\left(\sqrt{6},\sqrt{6}\right)[/inlmath]

Ako moze detaljnije objasnjnje, ne mogu samo to napisati. Objasnjnje onako kao sto Daniel pojasni, i HVALA PUNO

Pa sve bih ti ja napisao isto ovako kao što ti je ubavic lepo odgovorio.

Treba samo napomenuti da taj odgovor važi uz pretpostavku da se radi o dvodimenzionalnom sistemu, koja je sasvim opravdana, budući da se i ostali zadaci koje si juče i danas postovala odnose na 2D-sistem (tj. sistem u kojem imamo samo dve koordinatne ose, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]).
Ipak, u tekstu zadatka bi moralo biti naglašeno o kom sistemu se radi – 2D ili 3D – kako ne bismo morali da nagađamo.

Dakle, pod pretpostavkom da je u pitanju dvodimenzionalni sistem – hajde, nacrtaj lepo sliku. Dve koordinatne ose, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], pod pravim uglom jedna u odnosu na drugu. A ako ose međusobno zaklapaju ugao od [inlmath]90^\circ[/inlmath], a vektor sa svakom od njih zaklapa jednake oštre uglove, koliki će onda biti ti uglovi? Pa, [inlmath]45^\circ[/inlmath], dabome. Sada se samo treba setiti da ako imamo kvadrat stranice [inlmath]a[/inlmath], njegova dijagonala (koja je, naravno, pod [inlmath]45^\circ[/inlmath] u odnosu na stranice) iznosi [inlmath]a\sqrt 2[/inlmath] i onda to primeniš ovde... I vrlo lako dolaziš do rešenja koje ti je ubavic dao.

Daniel je napisao:Pa sve bih ti ja napisao isto ovako kao što ti je ubavic lepo odgovorio.

Treba samo napomenuti da taj odgovor važi uz pretpostavku da se radi o dvodimenzionalnom sistemu, koja je sasvim opravdana, budući da se i ostali zadaci koje si juče i danas postovala odnose na 2D-sistem (tj. sistem u kojem imamo samo dve koordinatne ose, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]).
Ipak, u tekstu zadatka bi moralo biti naglašeno o kom sistemu se radi – 2D ili 3D – kako ne bismo morali da nagađamo.

Svi zadaci koje stavljam su u 3d..tj [inlmath]V^3[/inlmath]..hmm sta sad s proslim zadacima?

Svi prošli zadaci su definitivno bili 2D, to se vidi iz onoga na šta su se odnosili (šestougao, trougao, paralelogram, konstrukcija zbira i razlike vektora...)

Ako ovde imamo tri koordinatne ose, onda te koordinatne ose posmatraš kao stranice kocke, a vektor koji s njima zaklapa jednake uglove posmatraš kao prostornu dijagonalu te kocke, koja iznosi [inlmath]a\sqrt 3[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] dužina stranice kocke.
Ugao onda možeš odrediti preko sinusa ili preko kosinusa, zavisno od toga da li posmatraš naleglu katetu (to bi bila stranica [inlmath]a[/inlmath], ili naspramnu katetu (to bi bila dijagonala jedne stranice, dužine [inlmath]a\sqrt 2[/inlmath]). Hipotenuza je, naravno, u oba slučaja prostorna dijagonala kocke, dužine [inlmath]a\sqrt 3[/inlmath].
[dispmath]\sin\varphi=\frac{a\sqrt 2}{a\sqrt 3}=\frac{\sqrt 6}{3}[/dispmath][dispmath]\cos\varphi=\frac{a}{a\sqrt 3}=\frac{\sqrt 3}{3}[/dispmath]
I onda uzmeš kalkulator i nađeš arkus sinus, odnosno arkus kosinus od toga... U svakom slučaju, ne dobiju se nikakve „lepe“ vrednosti uglova...

A što se tiče komponenata vektora (ako se radi o 3D-sistemu), opet zadati vektor posmatramo kao prostornu dijagonalu kocke, čija je dužina [inlmath]a\sqrt 3[/inlmath], a njegove projekcije posmatramo kao stranice kocke, čije su dužine [inlmath]a[/inlmath]. Prema tome, projekcije tog vektora imaće [inlmath]\sqrt 3[/inlmath] puta manje vrednosti od tog vektora. Pošto je [inlmath]\left|\vec r\right|=2\sqrt 3[/inlmath], komponente tog vektora će imati vrednost [inlmath]2[/inlmath].

Moze li ovako:
[dispmath]\cos\phi_1=\frac{\alpha_1}{\left|\vec r\right|},[/dispmath] tako je i [dispmath]\cos\phi_2=\frac{\alpha_2}{\left|\vec r\right|}[/dispmath] i [dispmath]\cos\phi_3=\frac{\alpha_3}{\left|\vec r\right|}.[/dispmath]
Pa je [dispmath]\cos^2\phi_1+\cos^2\phi_2+\cos^2\phi_3=1.[/dispmath]
Pošto je u zadatku zadano da vektor [inlmath]\vec r[/inlmath] zatvara s koordinatnim osama jednake oštre uglove, onda su kosinusi jednaki.
[dispmath]\frac{\alpha_1}{\left|\vec r\right|}=\frac{\alpha_2}{\left|\vec r\right|}=\frac{\alpha_3}{\left|\vec r\right|}.[/dispmath]
Ovo je jednako samo u slučaju kada je [inlmath]\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3[/inlmath], tj. kada su [inlmath]\alpha_1,\:\alpha_2,\:\alpha_3[/inlmath] komponente tog vektora.
[dispmath]\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}=2\sqrt{2}[/dispmath]
jer su [inlmath]\alpha_1,\:\alpha_2,\:\alpha_3[/inlmath] jednaki,imamo:
[dispmath]\sqrt{3\alpha_1^2}=2\sqrt{3}.[/dispmath]
I dalje kako ne znam..??

Sve je OK, osim što u ovom koraku

indira-aa je napisao:[dispmath]\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}=2\sqrt{2}[/dispmath]

treba pod korenom, naravno, da bude trojka, a ne dvojka. Ali pretpostavljam da je to samo greška pri kucanju.

indira-aa je napisao:[dispmath]\sqrt{3\alpha_1^2}=2\sqrt{3}.[/dispmath]
I dalje kako ne znam..??

Ma znaš, garant. Ako si sve ovo sama odradila, onda sigurno znaš i taj poslednji, najlakši korak.
U ovoj poslednjoj jednačini imaš samo jednu nepoznatu, [inlmath]a_1[/inlmath], a ostalo su konkretne brojne vrednosti. Reši tu jednačinu i naći ćeš [inlmath]a_1[/inlmath], a samim tim ćeš znati i vrednost ostalih komponenata, budući da je [inlmath]a_1=a_2=a_3[/inlmath].
Drugo što se u zadatku traži, to su uglovi. A kad si našla komponente vektora, i te uglove lako odrediš iz formula koje si lepo napisala:

indira-aa je napisao:[dispmath]\cos\phi_1=\frac{\alpha_1}{\left|\vec r\right|},[/dispmath] tako je i [dispmath]\cos\phi_2=\frac{\alpha_2}{\left|\vec r\right|}[/dispmath] i [dispmath]\cos\phi_3=\frac{\alpha_3}{\left|\vec r\right|}.[/dispmath]

Ali pretpostavljam da je to samo greška pri kucanju.

Da da [inlmath]3[/inlmath], ajoj i mene hahaha

Ma znaš, garant. Ako si sve ovo sama odradila, onda sigurno znaš i taj poslednji, najlakši korak.

Jesam jesam sama, trudim se ja haha, ali nisam iz 1.pokusaja da se razumijemo ahha, ali mislila sam da ne valja..

Da li mogu da korijenujem lijevu stranu pa onda imam: [dispmath]\sqrt{3}\cdot\pm\alpha_1=2\sqrt{3}[/dispmath]
Kako na desnoj strani imamo strogo pozitivne brojeve tada za predznak [inlmath]\alpha_1[/inlmath] uzimamo [inlmath]+[/inlmath], pa je onda [inlmath]\alpha_1=2[/inlmath].
A samim tim i [inlmath]\alpha_2, \alpha_3=2[/inlmath] jer su jednake.

Drugo što se u zadatku traži, to su uglovi. A kad si našla komponente vektora, i te uglove lako odrediš iz formula koje si lepo napisala:

indira-aa je napisao:[dispmath]\cos\phi_1=\frac{\alpha_1}{\left|\vec r\right|},[/dispmath] tako je i [dispmath]\cos\phi_2=\frac{\alpha_2}{\left|\vec r\right|}[/dispmath] i [dispmath]\cos\phi_3=\frac{\alpha_3}{\left|\vec r\right|}.[/dispmath]

Onda su uglovi [inlmath]\frac{2}{2\sqrt{3}}[/inlmath]????