MATEMANIJA

Evo zadatka: <3 <3

Tačke [inlmath]A(2,0,0)[/inlmath], [inlmath]B(0,3,0)[/inlmath], [inlmath]C(0,0,6)[/inlmath] i [inlmath]D(2,3,8)[/inlmath] su vrhovi piramide. Izračunati:
(a) zapreminu piramide i
(b) visinu na stranu [inlmath]ABC[/inlmath].

Pošto tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] pripadaju koordinatnim osama, najlakše je da kao osnovu piramide posmatramo stranu [inlmath]ABC[/inlmath].

Nacrtaj koordinatni sistem, obeleži na koordinatnim osama tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], pa ćeš vrlo lako naći, iz Pitagorine teoreme, kolike su stranice [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath]. Znajući dužine tih stranica, pomoću Heronovog obrasca za površinu trougla, [inlmath]P_\triangle=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)},\quad s=\frac{a+b+c}{2}[/inlmath], možeš odrediti površinu osnove piramide.

Treba da se dobije:
[inlmath]AB=\sqrt{13}[/inlmath]
[inlmath]BC=3\sqrt 5[/inlmath]
[inlmath]AC=2\sqrt{10}[/inlmath]
[inlmath]B=P_\triangle=3\sqrt{14}[/inlmath]

Da bismo našli zapreminu piramide, potrebno je da znamo još i visinu na stranu [inlmath]ABC[/inlmath], a ta visina je, ujedno, i ono što se traži pod b).
Visinu na stranu [inlmath]ABC[/inlmath] naći ćeš tako što na ravan određenu tačkama [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] postaviš normalu koja sadrži tačku [inlmath]D[/inlmath], odrediš tačku preseka te normale i stranice [inlmath]ABC[/inlmath] (obeležimo je sa [inlmath]D'[/inlmath]), pa će rastojanje između [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]D'[/inlmath] biti jednako traženoj visini. Na kraju, zapreminu piramide nalaziš po poznatoj formuli [inlmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H[/inlmath].

Da sve ovo uradiš, potrebno je prvo da odrediš jednačinu ravni koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Opšti oblik jednačine ravni u prostoru glasi [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], gde su [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] parametri koji određuju položaj te ravni i koje ovde treba odrediti (nemoj ove parametre mešati s oznakama tačaka [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]). Određuješ ih tako što uvrstiš koordinate za svaku tačku: za tačku [inlmath]A\left(2,0,0\right)[/inlmath] imamo da je [inlmath]A\cdot 2+B\cdot 0+C\cdot 0+D=0[/inlmath], tj. [inlmath]2A+D=0[/inlmath]. Na isti način uradiš i za tačke [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Dobićeš sistem jednačina iz koga parametre [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] možeš izraziti preko [inlmath]D[/inlmath], pa ćeš dobiti jednu jednačinu [inlmath]-\frac{D}{2}x-\frac{D}{3}y-\frac{D}{6}z+D=0[/inlmath], koju će, to je očigledno, biti najpraktičnije pomnožiti sa [inlmath]-\frac{6}{D}[/inlmath], pa ćemo na kraju za jednačinu ravni koja sadrži osnovu piramide dobiti [inlmath]3x+2y+z-6=0[/inlmath].

Normalu na tu ravan, koja sadrži tačku [inlmath]D[/inlmath] (a ta normala je, zapravo, visina piramide koja nam je potrebna), određuješ ovako: opšti oblik jednačine prave u prostoru glasi: [inlmath]\frac{x-x_0}{p}=\frac{y-y_0}{q}=\frac{z-z_0}{r}[/inlmath], gde su [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] komponente vektora te prave, a [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath] koordinate neke proizvoljne tačke na toj pravoj. Očigledno je da za koordinate [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath] treba da stavimo koordinate tačke [inlmath]D[/inlmath], budući da tražena normala treba da sadrži tu tačku, tako da će jednačina te normale biti oblika: [inlmath]\frac{x-2}{p}=\frac{y-3}{q}=\frac{z-8}{r}[/inlmath]. Što se tiče parametara [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath], oni predstavljaju komponente vektora normale, a vektor normale na pravu zadatu jednačinom [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] biće [inlmath]\left\langle A,B,C\right\rangle[/inlmath]. Pošto jednačina ove naše ravni glasi [inlmath]3x+2y+z-6=0[/inlmath], vektor njene normale će biti [inlmath]\left\langle 3,2,1\right\rangle[/inlmath], pa će [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] biti [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Jednačina tražene normale na stranu [inlmath]ABC[/inlmath] koja sadrži tačku [inlmath]D[/inlmath] je, prema tome, [inlmath]\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-8}{1}[/inlmath].

Tačku preseka osnove piramide i ove normale na osnovu, tj. tačku [inlmath]D'[/inlmath], određuješ tako što koordinate tačke [inlmath]D'[/inlmath] treba da zadovolje i jednačinu ravni osnove [inlmath]3x+2y+z-6=0[/inlmath] i jednačinu normale na ravan osnove [inlmath]\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-8}{1}[/inlmath]. Rešenja ovog sistema biće [inlmath]x=-1[/inlmath], [inlmath]y=1[/inlmath] i [inlmath]z=7[/inlmath], tj. tačka [inlmath]D'[/inlmath] ima koordinate [inlmath]\left(-1,1,7\right)[/inlmath].

Sada rastojanje tačaka [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]D'[/inlmath] nije teško odrediti, pomoću Pitagorine teoreme: [inlmath]\sqrt{\left(x_D-x_{D'}\right)^2+\left(y_D-y_{D'}\right)^2+\left(z_D-z_{D'}\right)^2}[/inlmath] i dobije se da iznosi [inlmath]\sqrt{14}[/inlmath].

I onda imaš sve što je potrebno za izračunavanje zapremine piramide. Površina osnove je [inlmath]3\sqrt{14}[/inlmath], visina je [inlmath]\sqrt{14}[/inlmath]. Za zapreminu piramide se na kraju dobije [inlmath]V=14[/inlmath].

Hmm ja ovo trebam uraditi pomocu vektora? :/
Rekla mi prof da je to mjesoviti produkt vektora hmm ;/..a to nismo radili

Princip bi, ukratko, bio: apsolutna vrednost mešovitog proizvoda, [inlmath]\left|\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c\right|[/inlmath], jednaka je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad ta tri vektora, slično kao što je intenzitet vektorskog proizvoda, [inlmath]\left|\vec a\times\vec b\right|[/inlmath], jednak površini paralelograma konstruisanog nad ta dva vektora.

U osnovi ove piramide imamo trougao, njegova površina se može odrediti kao polovina površine paralelograma nad dva vektora koji predstavljaju njegove stranice, a to se radi vektorskim proizvodom. Znači, površina trougla u osnovi piramide bila bi jednaka [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] tog vektorskog proizvoda. Pa bismo onda, skalarnim množenjem vektorskog proizvoda i još jednog vektora koji polazi od jednog temena trougla osnove i završava se u vrhu piramide, dobili mešoviti proizvod, čija bi polovina predstavljala zapreminu odgovarajuće trostrane prizme. Ali, pošto se traži zapremina piramide, a ona bi bila tri puta manja od zapremine prizme s istom osnovom i istom visinom, potrebno je taj rezultat još podeliti sa [inlmath]3[/inlmath], pa bi zapremina piramide bila jednaka šestini tog mešovitog proizvoda.

Ali, zaista ne kontam, kako vam mogu biti zadati ovakvi zadaci, a da, u trenutku zadavanja tog zadatka, čak ni vektorski proizvod niste radili? Da li vam onda bar bude rečeno da ne vredi da pokušavate da rešite te zadatke dok vam se prethodno ne ispredaje sve što je za njihovo rešavanje potrebno?

Ahaa pokusavam i ja skontati, trazim po knjigama, ma svakud..aa nema to kod njih, daju nam zadatke kazu snadjite se zato su i dani takvi kakvi jesu,da se snadjete..a mi kad predamo zadacu na pregled i ocjenu,onda cemo raditi mjesoviti proizvod vektora,stvarno nema smisla jel da ..cc

Kad imaš dve tačke [inlmath]A\left(a_x,\; a_y,\; a_z\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(b_x,\; b_y,\; b_z\right)[/inlmath] koje određuju početak i kraj vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath], tada je
[dispmath]\vec{AB}=\left\langle b_x-a_x,\; b_y-a_y,\; b_z-a_z\right\rangle[/dispmath]
Kada imaš vektore [inlmath]\vec a=\left\langle a_x,\; a_y,\; a_z\right\rangle[/inlmath] i [inlmath]\vec b=\left\langle b_x,\; b_y,\; b_z\right\rangle[/inlmath], tada je njihov vektorski proizvod
[dispmath]\vec a\times\vec b=\left|\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{matrix}\right|[/dispmath]
gde su [inlmath]\vec i[/inlmath], [inlmath]\vec j[/inlmath] i [inlmath]\vec k[/inlmath] jedinični vektori s pravcem i smerom [inlmath]x[/inlmath]-, [inlmath]y[/inlmath]- i [inlmath]z[/inlmath]-ose, respektivno.
Intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora predstavlja površinu paralelograma određenog tim vektorima.

Kada imaš tri vektora [inlmath]\vec a=\left\langle a_x,\; a_y,\; a_z\right\rangle[/inlmath], [inlmath]\vec b=\left\langle b_x,\; b_y,\; b_z\right\rangle[/inlmath] i [inlmath]\vec c=\left\langle c_x,\; c_y,\; c_z\right\rangle[/inlmath], tada je njihov mešoviti proizvod
[dispmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\left|\begin{matrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{matrix}\right|[/dispmath]
Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda tri vektora predstavlja zapreminu paralelopipeda određenog tim vektorima.

Uz pomoć svega što sam ovde napisao, i onog što sam napisao u prethodnom postu, možeš rešiti ovaj zadatak upotrebom mešovitog proizvoda vektora. Proverio sam, isti rezultat se dobije kao kad se rašava primenom analitičke geometrije.

Uz pomoć svega što sam ovde napisao, i onog što sam napisao u prethodnom postu, možeš rešiti ovaj zadatak upotrebom mešovitog proizvoda vektora. Proverio sam, isti rezultat se dobije kao kad se rašava primenom analitičke geometrije.

Evo ja sam uradila ovo pod a) na osnovu mjesovitog proizvoda vektora, i dobila da je [inlmath]V=14[/inlmath]..sad treba pod b) :/

Evo ja sam uradila pod b) na osnovu ovog:
[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H_{ABC}[/dispmath][dispmath]H_{ABC}=\frac{3V}{B}[/dispmath]
Baza je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] čiju površinu računamo:
[dispmath]B=P_{ABC}=\frac{\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|}{2}[/dispmath]..Kad izračunam [inlmath]\vec{AB}\times\vec{AC}[/inlmath] dobijem rezultat [inlmath]18\vec i+12\vec j+6\vec k[/inlmath].. i jos modul od tog, dobijem [dispmath]\sqrt{504}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{14}=6\sqrt{14}.[/dispmath]
[dispmath]B=3\sqrt{14}.[/dispmath]
i [dispmath]H_{ABC}=\frac{3V}{B}=\frac{3\cdot 14}{3\sqrt{14}}=\cdots =\frac{14\sqrt{14}}{14}=\sqrt{14}.[/dispmath]

Sve je tačno.