MATEMANIJA

Dati su jedinicni vektori [inlmath]\vec n,\vec m,\vec p[/inlmath] , takvi da je ugao izmedju [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i dok su uglovi izmedju [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec p[/inlmath] i izmedju [inlmath]\vec n[/inlmath] i [inlmath]\vec p[/inlmath] jednaki i iznose [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Ako dati vektori cine desno orijentisanu bazu izracunati zapreminu tetraedra koji obrazuju vektori [inlmath]\vec a=3\vec m+\vec n;\;\vec b=\vec p+2\vec n;\;\vec c=\vec m-\vec p[/inlmath]

Ovaj zadatak sam probao rijesiti preko mjesovitog proizvoda (sto nekako izgleda ocigledno), ali imam problem jer sistem jedinicnih vektora nije ortogonalan (nekanonski). Nakon toga sam probao da od ovog sistema napravil ortogonalni sistem tako sto bih jedan od vektora prestavio kao njegovu projekciju na vektor koji dobijam vektorskim proizvodom ostala 2 vektora. Uglavnom zadatak izgleda jednostavno i uspjesno sam odradio zadatke koje je profesor ocjenio kao dosta teze ali cini mi se da neki teorijski segment sam propustio i da zbog toga ne mogu odraditi zadatak.

Probao sam izvesti formulu preko mjesovitog proizvoda i u jednom dijelu jednacine dobijam [inlmath]\left(\vec p\times\vec m\right)\cdot\vec n[/inlmath]. E sad ako znam da je ugao izmedju [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath] jednak [inlmath]120^\circ[/inlmath], koliko je ugao izmedju uglova koje pravi ovaj vektorski proizvod i vektor [inlmath]\vec n[/inlmath]?

Prvo, meni nije jasno kako vektori [inlmath]\vec a[/inlmath], [inlmath]\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath] mogu obrazovati tetraedar, kad oni nisu međusobno jednaki po intenzitetima, a tetraedar je pravilan poliedar, tj. ima ivice jednakih dužina.

Ali, ako si nekako došao do [inlmath]\left(\vec p\times\vec m\right)\cdot\vec n[/inlmath], onda primeniš formule za vektorski i skalarni proizvod (imaš ih i u ovoj temi),
[dispmath]\left|\vec a\times\vec b\right|\overset{\text{def}}{=\!=}\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\sin\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
i
[dispmath]\vec a\cdot\vec b\;\overset{\text{def}}{=\!=}\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
pri čemu su intenziteti [inlmath]\left|\vec m\right|=\left|\vec n\right|=\left|\vec p\right|=1[/inlmath], jer su to jedinični vektori.

Takođe,

Littlefinger je napisao:koliko je ugao izmedju uglova koje pravi ovaj vektorski proizvod i vektor [inlmath]\vec n[/inlmath]?

ne razumem formulaciju ugao između uglova.

Provjerio sam jos jednom zadatak, u zadatku pise tetraedar tako da nije moja greska.


koliki je ugao izmedju vektora oznacenog vektorskim proizvodom [inlmath]\left(\vec m\:\times\:\vec p\right)[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath] ako znam da je ugao imzedju [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath] jednak [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Bez tog ugla ne mogu zavrsiti zadatak tj. izracunati skalarni proizvod ta dva vektora.
Izvinite na nepotpunom pitanju u proslom postu.

OK, sad razumem šta je bilo tvoje pitanje.
U tom slučaju, nema potrebe da radiš preko ovih definicija vektorskog i skalarnog proizvoda. Pošto tražiš mešoviti proizvod [inlmath]\left(\vec p\times\vec m\right)\cdot\vec n[/inlmath], možeš ga računati kao zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad ta tri vektora.
Osnova tog paralelopipeda je romb konstruisan nad vektorima [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath]. Stranice tog romba su dužine [inlmath]1[/inlmath], a dva ugla tog romba su [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Odatle lako odrediš njegovu površinu (romb se sastoji od dva jednakostranična trougla).
Visina paralelopipeda je [inlmath]1[/inlmath] (jer je vektor [inlmath]\vec p[/inlmath] jedinični i upravan je na ravan osnove), tako da je zapremina paralelopipeda brojno jednaka površini romba u njegovoj osnovi.

Možeš li, molim te, da napišeš na koji način si krenuo s ovim zadatkom, pošto mene zaista zbunjuje to s vektorima nejednakih intenziteta koji obrazuju – tetraedar?

Uzeo sam to kao gresku uopste ga od pocetka zadatka nijeam smatrao kao pravilu figuru jer je ocigledno da to nije.

sto se tice rada zadatka poceo sam tako sto sak urado mjesoviti prozivod ova tri vektora:
[dispmath]\left(\vec a\:\times\:\vec b\right)\cdot\vec c[/dispmath]
Kada uvrstimo vrijednosti za ove vektora
[dispmath]\left(3\vec m+\vec n\right)\:\times\:\left(\vec p+2\vec n\right)\cdot\left(\vec m-\vec p\right)[/dispmath]
onda sam prvo pomnozio zagradu (tj odradio vektorski proizvod)
[dispmath]\left(3\vec m\times\vec p+6\vec m\times\vec n+\vec n\times\vec p+2\vec n\times\vec n\right)\cdot\left(\vec m-\vec p\right)[/dispmath]
odatle clan [inlmath]2\vec n\times\vec n[/inlmath] mogu izjednacit sa nulom jer vektorski proizvod vekotra sa samim sobom je nula

i onda dobijem:
[dispmath]-3\left(\vec m\times\vec p\right)\cdot\vec p-6\left(\vec m\times\vec n\right)\cdot\vec p-\left(\vec n\times\vec p\right)\cdot\vec p+3\left(\vec m\times\vec p\right)\cdot\vec m+6\left(\vec m\times\vec n\right)\cdot\vec m+\left(\vec n\times\vec p\right)\cdot\vec m[/dispmath]

odatle kada sve mjesovite proizvode koji imju 1 isti vektor koji se ponavlja izjednacim sa nulom dobijam:
[dispmath]-6\left(\vec m\times\vec n\right)\cdot\vec p+\left(\vec n\times\vec p\right)\cdot\vec m[/dispmath]
odatle sam mislio da
[dispmath]\left(\vec n\times\vec p\right)\cdot\vec m=\left(\vec m\times\vec n\right)\cdot\vec p[/dispmath]
Jer se mjenjanjem mjesta vektora u vektorskom proizvodu mijenja njegov znak pa ako sam ja zamjenio mjesta [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec p[/inlmath] pa zatim i [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath] dolazit do mijenjanja znaka 2 puta sto je isti taj broj sa kojim sam poceo.

Da li je ovaj postupak tacan?\

Iz nekog razloga ne mogu da izmenim prosli post tako da se izvinjavam na mogucim greskama

Da, ceo postupak ti je tačan ako pretpostaviš da se umesto zapremine tetraedra traži zapremina paralelopipeda nad vektorima [inlmath]\vec a[/inlmath], [inlmath]\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath].
Ako se, međutim, traži zapremina trostrane piramide obrazovane nad tim vektorima (što je nekako „najbliža“ varijanta tetraedru), onda je potrebno zapreminu odgovarajućeg paralelopipeda podeliti sa [inlmath]6[/inlmath].

Littlefinger je napisao:Iz nekog razloga ne mogu da izmenim prosli post tako da se izvinjavam na mogucim greskama

Izmena postova je vremenski ograničena na pet minuta od trenutka objavljivanja. Preporučljivo je da pre slanja posta prvo stisneš dugme „Pregled“ radi provere kako će tvoj post izgledati kad bude objavljen, kako bi mogao da, pre nego što ga pošalješ, ispraviš eventualne greške.