MATEMANIJA

Na stranicama [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath] nalaze se redom tacke [inlmath]K[/inlmath] i [inlmath]L[/inlmath]. Dokazati da teziste trougla [inlmath]ABC[/inlmath] pripada duzi [inlmath]KL[/inlmath] ako je [dispmath]\frac{KB}{AK}+\frac{LC}{AL}=1.[/dispmath] Pretpostavljam da je potrebno, na neki nacin, iskoristiti Menelajevu teoremu za kolinearnost tacaka ali nisam bas siguran kako.

Dobro dosao na forum. Dodao sam LaTeX kod u tvoj post jer je to jedna od bitnijih stavki Pravilnika foruma (pogledaj tacku 13. Pravilnika, u okviru koje ces naci i link ka detaljnom uputstvu korisnjenja LaTeX-a na ovom forumu).

Sto se tice samog zadatka: neka je [inlmath]A_1[/inlmath] srediste stranice [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]KL\cap BC=M[/inlmath], [inlmath]KL\cap AA_1=T_1[/inlmath] i [inlmath]T[/inlmath] teziste trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. Nama je cilj da pokazemo da se tacke [inlmath]T_1[/inlmath] i [inlmath]T[/inlmath] poklapaju. Zato, uoci trougao [inlmath]AA_1B[/inlmath] i tacke [inlmath]T_1,K,M[/inlmath] i primeni tu Menelajevu teoremu, a potom primeni Menelajevu teoremu na trougao [inlmath]AA_1C[/inlmath] i tacke [inlmath]L,T_1,M[/inlmath]. Odatle pokazi da vazi jednakost [inlmath]\displaystyle\frac{|KB|}{|AK|}+\frac{|LC|}{|AL|}=2\frac{|A_1T_1|}{|T_1A|}[/inlmath] (naravno, primeti da ukoliko je [inlmath]KL[/inlmath] paralelno sa [inlmath]BC[/inlmath] (tj. tacka [inlmath]M[/inlmath] ne postoji), da ova jednakost i dalje vazi), a potom primeni i jednakost koja ti je data u zadatku, odakle bi trebalo da relativno lako iskoci cinjenica koja nam daje da je [inlmath]T_1=T[/inlmath].

Da napomenem, ako napisem [inlmath]AB[/inlmath] onda smatram da mislim na pravu koja prolazi kroz tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], a ako kazem [inlmath]|AB|[/inlmath] onda smatram da je to duzina duzi odredjene tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Shodno tome, da si pisao kao ja, tvoj uslov bi glasio [inlmath]\displaystyle\frac{|KB|}{|AK|}+\frac{|LC|}{|AL|}=1[/inlmath].

Hvala vam na ukazanim greskama u tekstu i ideji za resavanje zadatka. Jedino sto mi jos uvek nije najjasnije kako se iz primene Menelajeve teoreme na ova dva trougla dobije ova jednakost? Nisam bas siguran kako bih to sredio da dodjem do ovoga.

Pa hajde primeni Menelajevu teoremu, reci koje jednakosti se dobijaju, a potom pokusaj da izrazis nesto od [inlmath]|KB|[/inlmath], [inlmath]|AK|[/inlmath], [inlmath]|LC|[/inlmath], [inlmath]|AL|[/inlmath]. Dakle, racunas levu stranu jednakosti koju sam spomenuo i pokusavas da napakujes na desnu. Posle toga moze jos konkretnija prica (al ne ide da ja sve radim).

Uspeo sam da se snadjem hvala vam puno