MATEMANIJA

Ako su [inlmath]\vec x\ \vec y\ \vec z[/inlmath] linearno nezavisni vektori takvi da je [inlmath]\vec x\cdot\vec z=4[/inlmath] i [inlmath]\vec y\cdot\vec z=2014[/inlmath] onda je [inlmath]\bigl(\vec z\times\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)\times\vec x=?[/inlmath]
Ako ovo gledam kao dvostruki vek. proizvod dobijem
[dispmath]\left(\vec y\times\vec x\right)\cdot\left(\vec z\cdot\vec x\right)-\vec x\cdot\bigl(\vec z\cdot\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)=4\cdot\left(\vec y\times\vec x\right)-\vec x\cdot\bigl(\vec z\cdot\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)[/dispmath] U resenjima ovaj desni deo treba da bude [inlmath]0[/inlmath]
[dispmath]\vec x\cdot\bigl(\vec z\cdot\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)=0[/dispmath] Mene zanima zbog cega je to [inlmath]0[/inlmath]? Takodje da li ima neki drugi nacin za rad ovog zadatka.

Loše si razvio dvostruki vektorski proizvod. Radio si kao da formula glasi
[dispmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\times\vec c=\vec b\cdot\left(\vec a\cdot\vec c\right)-\vec c\cdot\left(\vec a\cdot\vec b\right)[/dispmath] a ona, zapravo, glasi
[dispmath]\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)=\vec b\cdot\left(\vec a\cdot\vec c\right)-\vec c\cdot\left(\vec a\cdot\vec b\right)[/dispmath] Pošto kod vektorskog proizvoda u opštem slučaju ne važi asocijativnost, [inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\times\vec c[/inlmath] nije isto što i [inlmath]\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)[/inlmath].

Da...
[inlmath]\bigl(\vec z\times\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)\times\vec x=-\vec x\times(\vec z\times\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)[/inlmath]
Ako ovo gledam kao dvostruki vek. proizvod dobijem
[dispmath]\vec z\cdot\bigl(-\vec x\cdot\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)-\left(\vec y\times\vec x\right)\cdot\left(-\vec x\cdot\vec z\right)=0-4\cdot\left(\vec x\times\vec y\right)[/dispmath]

...to jest, [inlmath]4\left(\vec y\times\vec x\right)[/inlmath].

A može se raditi i na drugi način, tako što u početnom izrazu [inlmath]\bigl(\vec z\times\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)\times\vec x[/inlmath] primenimo formulu dvostrukog vektorskog proizvoda na izraz u zagradi, [inlmath]\vec z\times\left(\vec y\times\vec x\right)[/inlmath]:
[dispmath]\bigl(\vec z\times\left(\vec y\times\vec x\right)\bigr)\times\vec x=\bigl(\vec y\cdot\left(\vec z\cdot\vec x\right)-\vec x\cdot\left(\vec z\cdot\vec y\right)\bigr)\times\vec x=\bigl(4\vec y-\vec x\cdot\left(\vec z\cdot\vec y\right)\bigr)\times\vec x=[/dispmath] pa zakon distribucije vektorskog proizvoda u odnosu na vektorsko sabiranje,
[dispmath]=4\vec y\times\vec x-\bigl(\vec x\cdot\left(\vec z\cdot\vec y\right)\bigr)\times\vec x=[/dispmath] pa zatim homogenost ([inlmath]\left(\vec a\cdot\lambda\right)\times\vec b=\lambda\left(\vec a\times\vec b\right)[/inlmath]),
[dispmath]=4\vec y\times\vec x-\left(\vec z\cdot\vec y\right)\underbrace{\left(\vec x\times\vec x\right)}_0=4\vec y\times\vec x[/dispmath]