MATEMANIJA

Neka je [inlmath]X[/inlmath] teziste tetraedra [inlmath]ABCD[/inlmath], a [inlmath]Y[/inlmath] teziste trougla [inlmath]ADX[/inlmath]. Tada je [inlmath]\vec{AY}=\_\_\_\vec{AB}+\_\_\_\vec{AC}+\_\_\_\vec{AD}[/inlmath]

Izrazim [inlmath]\displaystyle\vec{AX}=\frac{1}{4}\left(\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AD}\right)[/inlmath]
Izrazim [inlmath]\displaystyle\vec{AY}=\frac{1}{3}\left(\vec{AX}+\vec{AD}\right)[/inlmath]

Izjednacim po [inlmath]\vec{AX}[/inlmath] i dobijem [inlmath]\displaystyle\vec{AD}-3\cdot\vec{AY}=\frac{1}{4}\left(\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AD}\right)[/inlmath]
Kada se sredi dobijem [inlmath]\displaystyle\vec{AY}=-\frac{1}{12}\vec{AB}-\frac{1}{12}\vec{AC}+\frac{1}{4}\vec{AD}[/inlmath]
A treba da se dobije [inlmath]\displaystyle\vec{AY}=\frac{1}{12}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{AC}+\frac{5}{12}\vec{AD}[/inlmath]

Gde je greska? Da li ovako uopste treba da se radi?

---

Da ne bih otvarao novu temu:
Ako je tacka [inlmath]T[/inlmath] teziste tetraedra [inlmath]ABCD[/inlmath], a tacka [inlmath]E[/inlmath] srediste duzi [inlmath]AB[/inlmath], onda je [inlmath]\vec{TE}=\_\_\_\vec{CA}+\_\_\_\vec{CB}+\_\_\_\vec{CD}[/inlmath]
Slican kao prethodni ali preko kojih vektora da izrazim?

U ovim zadacima se koristi sledeće tvrđenje:

U prostoru je dato [inlmath]n[/inlmath] tačaka [inlmath]A_1,\ldots,A_n[/inlmath] ([inlmath]n\ge2[/inlmath]) i tačka [inlmath]O[/inlmath]. Težište tog skupa tačaka je tačka [inlmath]T[/inlmath] definisana sa [inlmath]\vec{OT}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\vec{OA_i}[/inlmath], nezavisno od izbora tačke [inlmath]O[/inlmath].

Konkretno, prvi zadatak je tačan ali mogao je malo elegantnije da se odradi.
S obzirom na to da je [inlmath]X[/inlmath] središte tetraedra [inlmath]ABCD[/inlmath], tada je [inlmath]\vec{AX}=\frac{1}{4}\left(\vec{AA}+\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}\right)\;\Longrightarrow\;4\vec{AX}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}[/inlmath]
Analogno, kako je [inlmath]Y[/inlmath] središte trougla [inlmath]ADX[/inlmath], to je [inlmath]\vec{AY}=\frac{1}{3}\left(\vec{AA}+\vec{AD}+\vec{AX}\right)\;\Longrightarrow\;12\vec{AY}=4\vec{AD}+4\vec{AX}[/inlmath]
[inlmath]\Longrightarrow\;12\vec{AY}=4\vec{AD}+\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}+5\vec{AD}\;\Longrightarrow\;\vec{AY}=\frac{1}{12}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{AC}+\frac{5}{12}\vec{AD}[/inlmath]

---

Što se tiče drugog zadatka, probaj sa [inlmath]\vec{ET}=\frac{1}{4}\left(\vec{EA}+\vec{EB}+\vec{EC}+\vec{ED}\right)[/inlmath] i [inlmath]\vec{TE}=\frac{1}{2}\left(\vec{TA}+\vec{TB}\right)[/inlmath]
Naravno koristi činjenicu [inlmath]\vec{ET}=-\vec{TE}[/inlmath]

kad je napisao:Gde je greska? Da li ovako uopste treba da se radi?

Greška je u sledećem:

kad je napisao:Izrazim [inlmath]\displaystyle\vec{AX}=\frac{1}{4}\left(\vec{AB}+\vec{A{\color{red}D}}+\vec{AD}\right)[/inlmath]
Izrazim [inlmath]\displaystyle\vec{AY}=\frac{1}{3}\left(\vec{AX}+\vec{AD}\right)[/inlmath]

Izjednacim po [inlmath]\vec{AX}[/inlmath] i dobijem [inlmath]\displaystyle\vec{AD}-3\cdot\vec{AY}=\frac{1}{4}\left(\vec{AB}+\vec{A{\color{red}D}}+\vec{AD}\right)[/inlmath]

Naravno, umesto ova dva [inlmath]\vec{AD}[/inlmath] treba da stoji [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] – izgleda da je to samo greška u kucanju, iako se pojavljuje na dva mesta (verovatno copy-paste).

Ali, glavna greška je u tome što si [inlmath]\vec{AX}[/inlmath] izrazio kao [inlmath]\vec{AD}-3\vec{AY}[/inlmath]. Obrnuo si znak, treba da bude [inlmath]\vec{AX}=3\vec{AY}-\vec{AD}[/inlmath]. Ako sad to uvrstiš u [inlmath]\displaystyle\vec{AX}=\frac{1}{4}\left(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}\right)[/inlmath], dobićeš ispravno rešenje.

Mada, mislim da ti je za nijansu lakše da [inlmath]\displaystyle\vec{AX}=\frac{1}{4}\left(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}\right)[/inlmath] uvrstiš u [inlmath]\displaystyle\vec{AY}=\frac{1}{3}\left(\vec{AX}+\vec{AD}\right)[/inlmath], odakle dobiješ [inlmath]\displaystyle\vec{AY}=\frac{1}{3}\Biggl(\frac{1}{4}\left(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}\right)+\vec{AD}\Biggr)[/inlmath] i sad to samo središ (zapravo, to je slično načinu koji ti je Wolf pokazao).

---

U drugom zadatku, budući da se traži da se [inlmath]\vec{TE}[/inlmath] izrazi preko [inlmath]\vec{CA}[/inlmath], [inlmath]\vec{CB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath], mislim da je jednostavnije krenuti od [inlmath]\vec{CT}=\frac{1}{4}\left(\vec{CA}+\vec{CB}+\vec{CD}\right)[/inlmath], zatim [inlmath]\vec{CT}[/inlmath] izraziti kao [inlmath]\vec{CE}-\vec{TE}[/inlmath], zatim vektor [inlmath]\vec{CE}[/inlmath] izraziti kao [inlmath]\vec{CA}+\vec{AE}[/inlmath], pa vektor [inlmath]\vec{AE}[/inlmath] izraziti kao [inlmath]\frac{1}{2}\vec{AB}[/inlmath], a vektor [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] izraziti kao [inlmath]\vec{CB}-\vec{CA}[/inlmath]...