MATEMANIJA

Ako su date koordinate temena trougla, da li moze pomocu vektorskog proizvoda da se izracuna povrsina iako se radi samo u 2-D.
Znaci ako imam [inlmath]A(12,-3)[/inlmath], [inlmath]B(1,-4)[/inlmath], [inlmath]C(-3,-2)[/inlmath]. Izracunam [inlmath]\vec{AB}=(-11,-1)[/inlmath] i [inlmath]\vec{BC}=(-15,1)[/inlmath]
Dobio sam tacno resenje kada sam ubacio u formulu za vek. proizvod (za 3 koordinate) gde sam u koloni za [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] stavio [inlmath]0[/inlmath].
Znaci
[dispmath]\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}
\vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\
-11 & -1 & 0\\
-15 & 1 & 0
\end{vmatrix}=13[/dispmath]
Mene zanima jel sam slucajno dobio tacno ili se stvarno treca kolona popuni sa [inlmath]0[/inlmath] kada nemamo tri koordinate.

Znam da ima formula za povrsinu
[dispmath]\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}[/dispmath] ali me zanima da li je prethodno resenje tacno/moguce.

Što se tiče popunjavanja kolone [inlmath]\vec{e_3}[/inlmath] sa nulama, razlog tome je što je ta formula predviđena za prostor. Postavlja se pitanje kako se "spustiti" u ravan? Odgovor je krajnje jednostavan, proglasimo da je [inlmath]z[/inlmath] koordinata jednaka nuli.
Neka su [inlmath]\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)[/inlmath] i [inlmath]\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)[/inlmath] dva nekolinearna vektora (u suprotnom [inlmath]\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=0[/inlmath], odnosno [inlmath]\vec{a}\times\vec{b}=\vec0[/inlmath]), tada je
[dispmath]\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\equiv\begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\ a_x & a_y & 0\\ b_x & b_y & 0 \end{vmatrix}=\vec{e_3}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y\\ b_x & b_y \end{vmatrix}[/dispmath] Kako se radi o ortonormiranoj bazi (drugačije nije naglašeno), to je [inlmath]\left|\vec{e_3}\right|=1[/inlmath]. Samim tim početna determinanta se svodi na [inlmath]\begin{vmatrix} a_x & a_y\\ b_x & b_y \end{vmatrix}[/inlmath].
S obzirom na to da je površina trougla, zapravo jednaka polovini površine paralelograma koji "razapinju" vektori [inlmath]\vec{a}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b}[/inlmath], tada je [inlmath]P_\triangle=\frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|[/inlmath]

Može se i za opšti slučaj dokazati da su površine računate na ta dva načina jednake. Ako uzmemo temena [inlmath]A(x_A,y_A)[/inlmath], [inlmath]B(x_B,y_B)[/inlmath] i [inlmath]C(x_C,y_C)[/inlmath] trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], tada su vektori stranica [inlmath]\vec{AB}=\langle x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;0\rangle[/inlmath] i [inlmath]\vec{BC}=\langle x_C-x_B,\;y_C-y_B,\;0\rangle[/inlmath]. Tada je površina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], ako idemo preko polovine intenziteta vektorskog proizvoda, jednaka:
[dispmath]P_1=\frac{1}{2}\text{abs}\left(\begin{vmatrix}
\vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\
x_B-x_A & y_B-y_A & 0\\
x_C-x_B & y_C-y_B & 0
\end{vmatrix}\right)=\frac{1}{2}\bigl|(x_B-x_A)(y_C-y_B)-(x_C-x_B)(y_B-y_A)\bigr|=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}|x_By_C-\cancel{x_By_B}-x_Ay_C+x_Ay_B-x_Cy_B+\cancel{x_By_B}+x_Cy_A-x_By_A|\tag1[/dispmath]
A ako idemo preko standardne formule za površinu trougla, imamo:
[dispmath]P_2=\frac{1}{2}\text{abs}\left(\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1\\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}\right)=\frac{1}{2}|x_By_C-x_Cy_B-x_Ay_C+x_Cy_A+x_Ay_B-x_By_A|\tag2[/dispmath]
Upoređivanjem [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]P_1=P_2[/inlmath], tj. da je svejedno na koji od ova dva načina računamo površinu trougla.

Ovo se čak može primetiti primenom osobine da je [inlmath]\det A=\det A^T[/inlmath]
[inlmath]\begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec{e_1} & x_1 & y_1\\ \vec{e_2} & x_2 & y_2\\ \vec{e_3} & x_3 & y_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & \vec{e_1}\\ x_2 & y_2 & \vec{e_2}\\ x_3 & y_3 & \vec{e_3} \end{vmatrix}[/inlmath]
Kako je reč o ortonormiranoj bazi, to je [inlmath]|\vec{e_1}|=|\vec{e_2}|=|\vec{e_3}|=1[/inlmath]
Odnosno [inlmath]\begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}[/inlmath]

Nisam ovo baš uspeo da pohvatam.

Malo me buni jednakost ove dve poslednje determinante, jer u prvoj determinanti, [inlmath]\begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix}[/inlmath], vrednosti [inlmath]x_i[/inlmath] i [inlmath]y_i[/inlmath] predstavljaju koordinate vektora stranica trougla, dok u drugoj determinanti, [inlmath]\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}[/inlmath], vrednosti [inlmath]x_i[/inlmath] i [inlmath]y_i[/inlmath] predstavljaju koordinate temena trougla.

Osim toga, prva determinanta, [inlmath]\begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3}\\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix}[/inlmath], predstavlja vektor, dok druga determinanta, [inlmath]\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}[/inlmath], predstavlja skalar, tako da ni po tome ne vidim kako bismo ih mogli izjednačavati?

Moja greska (poistovetio sam oznake)