MATEMANIJA

Zadatak glasi: Duzine baznih vektora [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath] su redom [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]\sqrt2[/inlmath], a uglovi izmedju njih su: [inlmath]\angle\left(\vec{b_1},\vec{b_2}\right)=120^\circ[/inlmath], [inlmath]\angle\left(\vec{b_1},\vec{b_3}\right)=45^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle\left(\vec{b_2},\vec{b_3}\right)=135^\circ[/inlmath]. Izracunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima koji po datoj bazi imaju koordinate [inlmath](-1,0,2)[/inlmath], [inlmath](1,1,3)[/inlmath] i [inlmath](2,-1,1)[/inlmath].

Pokusavao sam da raspisem ovaj mjesoviti proizvod vektora, pa me interesuje da li moze da se stavi npr. da je [inlmath]\vec{b_1}\times\vec{b_2}=\left|\vec{b_1}\right|\cdot\left|\vec{b_2}\right|\sin\angle\left(\vec{b_1},\vec{b_2}\right)\cdot\vec{b_3}\cdot\cos45^\circ[/inlmath], tj da se vektor [inlmath]\vec{b_1}\times\vec{b_2}[/inlmath] izrazi preko vektora [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath], i tako redom, ili mozda postoji neki laksi nacin da se izracuna ova zapremina?

Dobra ti je ideja, samo je nisi na pravi način zapisao. Zapremina paralelopipeda nam odmah "miriše" na mešoviti proizvod vektora. Odrediš vektorski proizvod vektora [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] i onda odrediš skalarni proizvod tog novog vektora sa [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath]. Ne verujem da može lakše. U ovom zadatku su ti čak i uglovi "tablični", pa nemaš problem da odrediš sinus i kosinus.

Mislim da se ne traži zapremina paralelopipeda koji grade ta tri vektora koja si pomenuo, već druga tri koja su data koordinatama.

Zapremina se trazi za ova 3 vektora sa koordinatama, ali mene buni kako vektorski proizvod [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] da izrazim preko vektora [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath] jer [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath] nije normalan na [inlmath]\vec{b_1}\times\vec{b_2}[/inlmath].

Možda može i jednostavnije, ali ja bih ovako pokušao:

Date su ti dužine vektora i uglovi između njih, pa znaš i skalarne proizvode. Dati sistem vektora ortonormiraš Gram-Šmitovim postupkom, a zatim nađeš koordinate vektora koji razapinju dati paralelopiped u novoj bazi. Tada je lako naći zapreminu, jer je nova baza ortonormirana.

Možda malo intuitivniji način od Gram-Šmita bio bi da, nakon raspisivanja mešovitog proizvoda, postavimo sistem jednačina. Ako nisam nigde omašio u računu, trebalo bi da se dobije da je apsolutna vrednost mešovitog proizvoda vektora koji razapinju paralelepiped jednaka [inlmath]10\left|\left(\vec{b_1}\times\vec{b_2}\right)\vec{b_3}\right|[/inlmath].
Vektor [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] možemo postaviti na [inlmath]x[/inlmath]-osu nove, ortonormirane baze (kao, uostalom, i kod Gram-Šmitovog postupka), a pošto mu je intenzitet [inlmath]1[/inlmath], njegove koordinate u novoj ortonormiranoj bazi biće [inlmath]\left<1,0,0\right>[/inlmath].
Vektor [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] postavljamo u [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan ortonormirane baze, pa će njegove koordinate biti [inlmath]\left<b_{2x},b_{2y},0\right>[/inlmath].
Sada imamo pet nepoznatih, [inlmath]b_{2x}[/inlmath], [inlmath]b_{2y}[/inlmath], [inlmath]b_{3x}[/inlmath], [inlmath]b_{3y}[/inlmath] i [inlmath]b_{3z}[/inlmath], pa postavljamo sistem od pet jednačina, koje dobijamo na osnovu datih intenziteta i datih uglova između vektora:
[dispmath]\left|\vec{b_2}\right|=2\quad\Longrightarrow\quad b_{2x}^2+b_{2y}^2=4\\
\left|\vec{b_3}\right|=\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad b_{3x}^2+b_{3y}^2+b_{3z}^2=2\\
\vec{b_1}\vec{b_2}=2\cos120^\circ\quad\Longrightarrow\quad b_{2x}=-1\\
\vec{b_1}\vec{b_3}=\sqrt2\cos45^\circ\quad\Longrightarrow\quad b_{3x}=1\\
\vec{b_2}\vec{b_3}=2\sqrt2\cos135^\circ\quad\Longrightarrow\quad b_{2x}b_{3x}+b_{2y}b_{3y}=-2[/dispmath] Rešavanjem ovog sistema dobije se [inlmath]\vec{b_2}=\left<-1,\sqrt3,0\right>[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_3}=\left<1,-\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{3}\right>[/inlmath].

Super :)
Setio sam se da može i samo da se izračuna Gramova determinanta sistema. Drugi načini su možda malo manje računski zahtevni, ali metoda sa gramijanom se lako uopštava.