Opusti se...
Da je odneo vremena, jeste, da je odneo živaca, pa, bogami, tu i tamo... Al' zato je doneo još rutine, još prakse, pa samim tim i još znanja.
Onda, evo postupka, uz, još jednom, napomenu da ovo radim s (vrlo osnovanom) pretpostavkom da u postavci zadatka umesto [inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)=\frac{\pi}{6}[/inlmath] stoji [inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)=\frac{\pi}{3}[/inlmath].[dispmath]\left|\vec p\right|=2,\quad\left|\vec q\right|=3,\quad\angle\left(\vec p, \vec q\right)=\frac{\pi}{3}[/dispmath]a)[dispmath]\vec n\cdot\vec p=7,\quad\vec n\cdot\vec q=3[/dispmath][dispmath]\vec n\cdot\vec p=7[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left|\vec p\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)=7[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot 2\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)=7[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)=\frac{7}{2}[/dispmath]Iliti, rečima, projekcija vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec p[/inlmath] iznosi [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath].
Pa, možemo krenuti s crtanjem skice
(trudimo se da je crtamo u što je moguće boljoj srazmeri radi bolje preglednosti, mada to nije od presudnog značaja, budući da ćemo sav račun sprovesti analitičkim putem).
- vektori 1.png (1.28 KiB) Pogledano 1715 puta
Pošto projekcija vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec p[/inlmath] iznosi [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]3,5[/inlmath], produžićemo pravac vektora [inlmath]\vec p[/inlmath], pa ćemo na rastojanju 3,5 od početka vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] konstruisati normalu, znajući da će se negde na toj normali naći vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath]. Tačku preseka te normale s pravcem vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] označićemo sa [inlmath]A[/inlmath].[dispmath]\vec n\cdot\vec q=3[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left|\vec q\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=3[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot 3\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=3[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=1[/dispmath]tj. projekcija vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec q[/inlmath] iznosi [inlmath]1[/inlmath], pa to unosimo u skicu, tako što na pravcu vektora [inlmath]\vec q[/inlmath], na rastojanju [inlmath]1[/inlmath] od njegovog početka, konstruišemo normalu, na kojoj znamo da se mora naći vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath].
- vektori 2.png (1.58 KiB) Pogledano 1715 puta
U tački preseka ovih normala na vektore [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], koju ćemo označiti sa [inlmath]B[/inlmath], naći će se vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath].[dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\left[\angle\left(\vec n,\vec p\right)+\angle\left(\vec p,\vec q\right)\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\left[\angle\left(\vec n,\vec p\right)+\frac{\pi}{3}\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left[\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)\cos\frac{\pi}{3}-\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)\sin\frac{\pi}{3}\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left[\frac{1}{2}\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)-\frac{\sqrt 3}{2}\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left[\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)-\sqrt 3\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)\right]=2[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)-\left|\vec n\right|\cdot\sqrt 3\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)=2[/dispmath][dispmath]\frac{7}{2}-\left|\vec n\right|\cdot\sqrt 3\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)=2[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)=\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]Veličina [inlmath]\left|\vec n\right|\cdot\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)[/inlmath] predstavlja dužinu [inlmath]\overline{AB}[/inlmath].
Pošto se u zadatku traži da vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] izrazimo preko vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], da bismo to postigli, konstruisaćemo pravac paralelan vektoru [inlmath]\vec q[/inlmath] koji sadrži vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath]:
- vektori 3.png (1.74 KiB) Pogledano 1715 puta
Taj pravac će s pravcem vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] zaklapati isti ugao koji zaklapaju vektori [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath] (unakrsni uglovi), tj. [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath]. Tačku preseka tog pravca s pravcem vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] označićemo sa [inlmath]C[/inlmath].
Pošto je [inlmath]\vec{OC}[/inlmath] kolinearan s [inlmath]\vec p[/inlmath], a [inlmath]\vec{CB}[/inlmath] kolinearan s [inlmath]\vec q[/inlmath], da bismo vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] izrazili preko [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], prvo ćemo ga izraziti preko [inlmath]\vec{OC}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CB}[/inlmath]:[dispmath]\vec n=\vec{OC}+\vec{CB}[/dispmath][dispmath]\left|\vec{OC}\right|=\left|\vec{OA}\right|+\left|\vec{AC}\right|[/dispmath]Za [inlmath]\left|\vec{OA}\right|[/inlmath] znamo da iznosi [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath], a [inlmath]\left|\vec{AC}\right|[/inlmath] nađemo tako što uočimo da trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla, pa pošto je [inlmath]\overline{AB}=\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath], tada će biti [inlmath]\overline{AC}=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\overline{CB}=1[/inlmath].[dispmath]\left|\vec{OC}\right|=\left|\vec{OA}\right|+\left|\vec{OC}\right|=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=4[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\vec{OC}=2\vec p[/dispmath][inlmath]\left|\vec{CB}\right|=1[/inlmath] i suprotnog je smera u odnosu na [inlmath]\vec q[/inlmath][dispmath]\Rightarrow\quad\vec{CB}=-\frac{1}{3}\vec q[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\vec n=\vec{OC}+\vec{CB}=2\vec p-\frac{1}{3}\vec q[/dispmath]b)
Jedinični vektor vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] dobićemo tako što [inlmath]\vec n[/inlmath] podelimo njegovim intenzitetom, [inlmath]\left|\vec n\right|[/inlmath]:[dispmath]\vec{n_0}=\frac{\vec n}{\left|\vec n\right|}[/dispmath]pri čemu će vektor [inlmath]\vec{n_0}[/inlmath] imati isti pravac i smer kao i vektor [inlmath]\vec n[/inlmath], a intenzitet će mu biti [inlmath]1[/inlmath].
[inlmath]\left|\vec n\right|[/inlmath] ćemo naći iz trougla [inlmath]\triangle OCB[/inlmath], primenom kosinusne teoreme:[dispmath]\left|\vec n\right|^2={\overline{OC}}^2+{\overline{CB}}^2-2\overline{OC}\cdot\overline{CB}\cos\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|^2=4^2+1^2-2\cdot 4\cdot 1\cdot\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|=\sqrt{13}[/dispmath]Prema tome, jedinčni vektor [inlmath]\vec{n_0}[/inlmath], izražen preko [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], biće:[dispmath]\vec{n_0}=\frac{\vec n}{\left|\vec n\right|}=\frac{2}{\sqrt{13}}\vec p-\frac{1}{3\sqrt{13}}\vec q[/dispmath]
OK, sad malo o zadatku.
