MATEMANIJA

Pozdrav Daniele evo prezivili smak svijeta pa reko red je da i malo matematike uradimo...
nisam odavno navratio...tj. jesam al je server bio izgasen...
vidim sad sve stima...
iskreno nisam ni rjesavao nesto puno u zadnje vrijeme...
evo poceo pa odmah zapelo...

Zadani su vektori [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath] takvi da vrijedi
[dispmath]|\vec p|=2,\;|\vec q|=3,\;\angle\left(\vec p,\vec q\right)=\frac{\pi}{6}.[/dispmath]
a) Izrazite vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] preko vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath] ako vrijedi [inlmath]\vec n\cdot\vec p=7[/inlmath] i [inlmath]\vec n\cdot\vec q=3[/inlmath]
b) Izrazite jedinični vektor vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] preko [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath].

Rješenja zadataka imam ali nemam pojma kako je autor zadataka dosao do njih...
a) [inlmath]\vec n=2\vec p-\frac{1}{3}\vec q[/inlmath]
b) [inlmath]\vec n_0=\frac{2}{\sqrt{13}}\vec p-\frac{1}{3\sqrt{13}}\vec q[/inlmath]

aab7 je napisao:Pozdrav Daniele evo prezivili smak svijeta pa reko red je da i malo matematike uradimo...

Pozdrav i tebi, aab7, samo... zašto pozdravljaš samo mene, pa nisam ja jedini na ovom forumu. Zar za ostale pozdrav ne važi?

aab7 je napisao:nisam odavno navratio...tj. jesam al je server bio izgasen...
vidim sad sve stima...

Server je bio down jedino u prošlu nedelju uveče, posle 18h, svim ostalim danima je radio... Eto, Murphy's law na delu, desilo se baš onda kad si hteo da nas posetiš.

aab7 je napisao:iskreno nisam ni rjesavao nesto puno u zadnje vrijeme...
evo poceo pa odmah zapelo...

Pa naravno da nisi, što bi se mučio kad će ionako smak sveta... A sad kad si video da od smaka nema ništa, odmah si se bacio na knjigu da sve to nadoknadiš...
Šalim se ja malo... OK, sad malo o zadatku.

Mogu ti reći da sam se dooobro otelio oko ovog zadatka, dobijajući nekakva nebulozna rešenja s nekakvim korenima, razlomcima, dok na kraju nisam provalio da umesto
[inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)=\frac{\pi}{6}[/inlmath]
treba da bude
[inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)=\frac{\pi}{3}[/inlmath]
I kad se stavi da je taj ugao [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath], odmah sve savršeno lepo ispadne, dobijaju se upravo ova rešenja koja su ponuđena.

Da li je i tebe to bunilo? Možda bi sad umeo i sam da ga uradiš, ako ne, javi, pa ću napisati ovde postupak.

Pozdrav i tebi, aab7, samo... zašto pozdravljaš samo mene, pa nisam ja jedini na ovom forumu. Zar za ostale pozdrav ne važi?

Ma naravno pozdrav svima na forumu...svima koji su prezivi smak svijeta....

Mogu ti reći da sam se dooobro otelio oko ovog zadatka, dobijajući nekakva nebulozna rešenja s nekakvim korenima, razlomcima, dok na kraju nisam provalio da umesto

Zao mi je ako je zadatak odnio vremena i zivaca...
Ne znam odakle profa vuce zadatke al uvije su neki zeznuti...
Jel moze postupak jer ne znam ni zapoceti...

aab7 je napisao:Zao mi je ako je zadatak odnio vremena i zivaca...

Opusti se... Da je odneo vremena, jeste, da je odneo živaca, pa, bogami, tu i tamo... Al' zato je doneo još rutine, još prakse, pa samim tim i još znanja.

Onda, evo postupka, uz, još jednom, napomenu da ovo radim s (vrlo osnovanom) pretpostavkom da u postavci zadatka umesto [inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)=\frac{\pi}{6}[/inlmath] stoji [inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)=\frac{\pi}{3}[/inlmath].[dispmath]\left|\vec p\right|=2,\quad\left|\vec q\right|=3,\quad\angle\left(\vec p, \vec q\right)=\frac{\pi}{3}[/dispmath]a)[dispmath]\vec n\cdot\vec p=7,\quad\vec n\cdot\vec q=3[/dispmath][dispmath]\vec n\cdot\vec p=7[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left|\vec p\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)=7[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot 2\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)=7[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)=\frac{7}{2}[/dispmath]Iliti, rečima, projekcija vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec p[/inlmath] iznosi [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath].

Pa, možemo krenuti s crtanjem skice (trudimo se da je crtamo u što je moguće boljoj srazmeri radi bolje preglednosti, mada to nije od presudnog značaja, budući da ćemo sav račun sprovesti analitičkim putem).


Pošto projekcija vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec p[/inlmath] iznosi [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]3,5[/inlmath], produžićemo pravac vektora [inlmath]\vec p[/inlmath], pa ćemo na rastojanju 3,5 od početka vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] konstruisati normalu, znajući da će se negde na toj normali naći vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath]. Tačku preseka te normale s pravcem vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] označićemo sa [inlmath]A[/inlmath].[dispmath]\vec n\cdot\vec q=3[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left|\vec q\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=3[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot 3\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=3[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=1[/dispmath]tj. projekcija vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] na vektor [inlmath]\vec q[/inlmath] iznosi [inlmath]1[/inlmath], pa to unosimo u skicu, tako što na pravcu vektora [inlmath]\vec q[/inlmath], na rastojanju [inlmath]1[/inlmath] od njegovog početka, konstruišemo normalu, na kojoj znamo da se mora naći vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath].


U tački preseka ovih normala na vektore [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], koju ćemo označiti sa [inlmath]B[/inlmath], naći će se vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath].[dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec q\right)=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\left[\angle\left(\vec n,\vec p\right)+\angle\left(\vec p,\vec q\right)\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\left[\angle\left(\vec n,\vec p\right)+\frac{\pi}{3}\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left[\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)\cos\frac{\pi}{3}-\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)\sin\frac{\pi}{3}\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left[\frac{1}{2}\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)-\frac{\sqrt 3}{2}\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left[\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)-\sqrt 3\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)\right]=2[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)-\left|\vec n\right|\cdot\sqrt 3\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)=2[/dispmath][dispmath]\frac{7}{2}-\left|\vec n\right|\cdot\sqrt 3\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)=2[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)=\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]Veličina [inlmath]\left|\vec n\right|\cdot\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)[/inlmath] predstavlja dužinu [inlmath]\overline{AB}[/inlmath].

Pošto se u zadatku traži da vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] izrazimo preko vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], da bismo to postigli, konstruisaćemo pravac paralelan vektoru [inlmath]\vec q[/inlmath] koji sadrži vrh vektora [inlmath]\vec n[/inlmath]:


Taj pravac će s pravcem vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] zaklapati isti ugao koji zaklapaju vektori [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath] (unakrsni uglovi), tj. [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath]. Tačku preseka tog pravca s pravcem vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] označićemo sa [inlmath]C[/inlmath].

Pošto je [inlmath]\vec{OC}[/inlmath] kolinearan s [inlmath]\vec p[/inlmath], a [inlmath]\vec{CB}[/inlmath] kolinearan s [inlmath]\vec q[/inlmath], da bismo vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] izrazili preko [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], prvo ćemo ga izraziti preko [inlmath]\vec{OC}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CB}[/inlmath]:[dispmath]\vec n=\vec{OC}+\vec{CB}[/dispmath][dispmath]\left|\vec{OC}\right|=\left|\vec{OA}\right|+\left|\vec{AC}\right|[/dispmath]Za [inlmath]\left|\vec{OA}\right|[/inlmath] znamo da iznosi [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath], a [inlmath]\left|\vec{AC}\right|[/inlmath] nađemo tako što uočimo da trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla, pa pošto je [inlmath]\overline{AB}=\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath], tada će biti [inlmath]\overline{AC}=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\overline{CB}=1[/inlmath].[dispmath]\left|\vec{OC}\right|=\left|\vec{OA}\right|+\left|\vec{OC}\right|=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=4[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\vec{OC}=2\vec p[/dispmath][inlmath]\left|\vec{CB}\right|=1[/inlmath] i suprotnog je smera u odnosu na [inlmath]\vec q[/inlmath][dispmath]\Rightarrow\quad\vec{CB}=-\frac{1}{3}\vec q[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\vec n=\vec{OC}+\vec{CB}=2\vec p-\frac{1}{3}\vec q[/dispmath]b)

Jedinični vektor vektora [inlmath]\vec n[/inlmath] dobićemo tako što [inlmath]\vec n[/inlmath] podelimo njegovim intenzitetom, [inlmath]\left|\vec n\right|[/inlmath]:[dispmath]\vec{n_0}=\frac{\vec n}{\left|\vec n\right|}[/dispmath]pri čemu će vektor [inlmath]\vec{n_0}[/inlmath] imati isti pravac i smer kao i vektor [inlmath]\vec n[/inlmath], a intenzitet će mu biti [inlmath]1[/inlmath].

[inlmath]\left|\vec n\right|[/inlmath] ćemo naći iz trougla [inlmath]\triangle OCB[/inlmath], primenom kosinusne teoreme:[dispmath]\left|\vec n\right|^2={\overline{OC}}^2+{\overline{CB}}^2-2\overline{OC}\cdot\overline{CB}\cos\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|^2=4^2+1^2-2\cdot 4\cdot 1\cdot\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|=\sqrt{13}[/dispmath]Prema tome, jedinčni vektor [inlmath]\vec{n_0}[/inlmath], izražen preko [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath], biće:[dispmath]\vec{n_0}=\frac{\vec n}{\left|\vec n\right|}=\frac{2}{\sqrt{13}}\vec p-\frac{1}{3\sqrt{13}}\vec q[/dispmath]

Tnx na rješenju moram sad ovo malo proučit...
Javim se ako šta zapne...pozzzz

evo zapelo...

[dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\cos\left[\angle\left(\vec n,\vec p\right)+\frac{\pi}{3}\right]=1[/dispmath][dispmath]\left|\vec n\right|\cdot\left[\cos\angle\left(\vec n,\vec p\right)\cos\frac{\pi}{3}-\sin\angle\left(\vec n,\vec p\right)\sin\frac{\pi}{3}\right]=1[/dispmath]

nejasno mi je odakle se pojavljuje ovaj sinus u drugom retku??
i zanima me jeli to potrebno računati tj. dali se moze dobiti konačni rezultat bez tog podatka??

To ti je formula za kosinus zbira uglova:
[dispmath]\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
Ja ne tvrdim da je ovo moje rešenje jedino moguće. Ali, definitivno moramo odrediti [inlmath]\overline{OC}[/inlmath] i [inlmath]\overline{CB}[/inlmath], a da bismo njih odredili, ne vidim drugi način nego da prvo odredimo [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], a to, opet, ne vidim kako drugačije nego preko ovog sinusa...

Ok...Hvala jos jednom...
nije mi bilo jasno odakle taj sinus al sad sve sjelo na svoje mjesto...