MATEMANIJA

a) U trokutu [inlmath]ABC[/inlmath] tocka [inlmath]D[/inlmath] je polovište stranice [inlmath]AB[/inlmath], tocka [inlmath]E[/inlmath] dijeli stranicu [inlmath]BC[/inlmath] u omjeru [inlmath]2:3[/inlmath], a tocka [inlmath]F[/inlmath] stranicu [inlmath]CA[/inlmath] u omjeru [inlmath]3:5[/inlmath]. Ako je površina trokuta [inlmath]ABC[/inlmath] jednaka [inlmath]30[/inlmath], kolika je površina trokuta [inlmath]DEF[/inlmath]?
b) Nadite tocku u ravnini [inlmath]\pi\colon2x−3y−z+1=0[/inlmath] jednako udaljenu od tocaka [inlmath]A(2,3,0)[/inlmath], [inlmath]B(4,2,0)[/inlmath] i [inlmath]C(1,0,0)[/inlmath].

Pod a) zadatkom sam sve postavio kao kolinearne vektore s koeficijentom. Znam da postoji formula za površinu.
pod b) sam izracuno prvo težište trokuta [inlmath]ABC[/inlmath] pošto nemamo [inlmath]z[/inlmath] koordinatu sam stavio formulu
[dispmath]T\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)[/dispmath] i onda sam uvrstio brojeve u formulu za ravninu. Hvala svima koji ostave odgovor.

Deva je napisao:b) Nadite tocku u ravnini [inlmath]\pi\colon2x−3y−z+1=0[/inlmath] jednako udaljenu od tocaka [inlmath]A(2,3,0)[/inlmath], [inlmath]B(4,2,0)[/inlmath] i [inlmath]C(1,0,0)[/inlmath].

Deva je napisao:pod b) sam izracuno prvo težište trokuta [inlmath]ABC[/inlmath]

Težište nije podjednako udaljeno od tri temena trougla (izuzev kod jednakostraničnog trougla). Pomenutu osobinu ima centar opisane kružnice.

Deva je napisao:Hvala svima koji ostave odgovor.

A kako glasi pitanje?

a) zadatak se rješava ustvari jednostavno...
Znači prvo ne tražite ono što se traži .... ako nacrtate kao što je u zadatku zadano dobit ćete četiri trokuta... računajte površine ona tri trokuta koja vam ne trebaju...


Površna trokuta - općenita formula.. računa se kao [inlmath]P=\frac{a\cdot b}{2}\sin\gamma=\frac{a\cdot c}{2}\sin\beta=\frac{b\cdot c}{2}\sin\alpha[/inlmath]
[dispmath]P_{ABC}=\frac{b\cdot c}{2}\sin\alpha=30\\
P_{ADF}=\frac{\frac{5}{8}b\cdot\frac{1}{2}c}{2}\sin\alpha[/dispmath] i sad se to podijeli
(baš me iritira što ne mogu normalno pisati formule)

[inlmath]\frac{P_{ABC}}{P_{ADF}}=[/inlmath] gornji izraz/donji izraz.... sve se pokrat i ostane [inlmath]=\frac{16}{5}[/inlmath].. a znamo da je [inlmath]P_{ABC}=30[/inlmath] pa je [inlmath]P_{ADF}=\frac{75}{8}=9,375[/inlmath]

i to se ponavlja za sve "vanjske" trokute...
Meni je ispalo da je [inlmath]P_{DEB}=6[/inlmath]
[inlmath]P_{EFC}=\frac{27}{4}=6,75[/inlmath]

I iz toga da je površina srednjeg trokuta [inlmath]7,875[/inlmath]

Postupak je ziher točan, brojeve provjerite

---

b) zadatak se rješava tako da se pretpostavi da su tri točke na istoj sferi, a da je središte sfere na pravcu. Udaljenost svake točke od središta sfere je [inlmath]r[/inlmath] (radijus sfere).
Ako je središte sfere [inlmath]S(x_0,y_0,z_0)[/inlmath], a radijus [inlmath]r[/inlmath] onda vrijedi:


[inlmath](1)[/inlmath] [inlmath](2-x_0)^2+(3-y_0)^2+(0-z_0)^2=r^2[/inlmath]
i tako se raspiše za sve tri točke.
[inlmath](2)[/inlmath]
[inlmath](3)[/inlmath]
[inlmath](4)[/inlmath] četvrta jednadžba se dobije pretpostavkom da je [inlmath]S[/inlmath] na pravcu:
[inlmath]2x_0-3y_0-z_0+1=0[/inlmath]

sustav izgleda gadno ali nije.

oduzmite [inlmath](1)-(2)[/inlmath]
i onda [inlmath](1)-(3)[/inlmath] i dobit ćete sustav s dvije jednadžbe i dvije nepoznanice... jer će se sve drugo pokratiti.. dobit ćete [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath]
a uvrštavanjem u [inlmath](4)[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath]

Nisam 100% sigurna u svoj izračun, ali ispalo mi je [inlmath]S\left(\frac{33}{14},\frac{17}{14},\frac{29}{14}\right)[/inlmath] i to je tražena točka.

JasnaH je napisao:(baš me iritira što ne mogu normalno pisati formule)

A ko kaže da ne možeš? Sve što je bilo potrebno to je da pročitaš Pravilnik, jer je u tački 13. objašnjeno kako se pišu formule.
Dodao sam ti Latex u post, kako bih mogao da se snađem s tvojim postupkom. Sad je daleko čitljivije.

Potvrđujem tačnost oba rešenja, s tim što pod b) može da se uradi i jednostavnije, ako uočimo da se sve tri tačke ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]) nalaze u [inlmath]xOy[/inlmath]-ravni. Tada nađemo tačku [inlmath]S'[/inlmath] u [inlmath]xOy[/inlmath]-ravni koja je podjednako udaljena od sve tri tačke (npr. kao presek simetrale duži [inlmath]AC[/inlmath] i simetrale duži [inlmath]BC[/inlmath]), zatim kroz tačku [inlmath]S'[/inlmath] postavimo pravac normalan na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan i, pošto za svaku tačku na tom pravcu važi da je podjednako udaljena od tačaka [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], to znači da će i tražena tačka [inlmath]S[/inlmath] pripadati tom pravcu (a za nju znamo da mora pripadati i zadatoj ravni).