MATEMANIJA

Odrediti [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath] tako da tačke [inlmath]A(1,1,1)[/inlmath], [inlmath]B(2,3,4)[/inlmath], [inlmath]C(5,6,7)[/inlmath] i [inlmath]D(8,9,m)[/inlmath] budu komplanarne.

Nisam siguran kako trebam da zapocnem ovaj zadatak.

Zdravo, opet ja. Naisao sam na problem rjesavajuci ovaj zadatak, ali ne znam gdje.
Ovim postupkom sam isao:
Najprije sam tacke [inlmath]A;B;C;D[/inlmath] pretvorio u vektore [inlmath]\vec{BC},\vec{BD},\vec{BA}[/inlmath]. Pa sam odatle iskoristio formulu za mjesoviti proizvod vektora [inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}[/inlmath] i dobijo da je [inlmath]m=-6[/inlmath] ali mi nije tacan rezultat. Samo mi treba pomoc da nadjem gdje sam napravio gresku. Hvala unaprijed!

Pretpostavljam da su vektori [inlmath]\vec a[/inlmath], [inlmath]\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath], redom vektori [inlmath]\vec{BA}[/inlmath], [inlmath]\vec{BC}[/inlmath] i [inlmath]\vec{BD}[/inlmath]. Takođe moje lično mišljenje je da je lakše odabrati tačku [inlmath]A[/inlmath] za početnu tačku za sva tri vektora.

Ako su sve četiri tačke komplanarne, onda su, naravno komplanarni i vektori određeni tim tačkama. A kada su tri vektora komplanarna, onda je jasno kolika je zapremina paralelopipeda koji oni određuju. Pretpostavljam da si tako radio? Ako jesi, onda je postupak dobar. U tom slučaju, zamolio bih te da napišeš koordinate vektora koje si dobio, pa da proverimo da nije greška u računu.

I, najbitnije, pošto očigledno imaš rešenje zadatka, napiši ga, baš kao što je i predviđeno Pravilnikom.

Da, samo sto sam isao redoslijedom [inlmath]\vec{BC};\vec{BD};\vec{BA}[/inlmath], [inlmath]\vec{BC}=(3,3,3)[/inlmath], [inlmath]\vec{BD}=(6,6,m-4)[/inlmath], [inlmath]\vec{BA}=(-1,-2,-3)[/inlmath], i da znam da s obzirom da moraju biti komplanarne zapremina mora biti [inlmath]0[/inlmath].
[dispmath]\begin{vmatrix}
\vec{BC};\vec{BD};\vec{BA}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
3 & 3 & 3\\
6 & 6 & m-4\\
-1 & -2 & -3
\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}
6 & m-4\\
-2 & -3
\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}
6 & m-4\\
-1 & -3
\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}
6 & 6\\
-1 & -2
\end{vmatrix}=\\
=3(-18+2m+8)-3(-18+m+4)+3(-12+6)=-30+6m+42-3m-18\;\Longrightarrow\;3m=-6;[/dispmath][dispmath]m=-2\;\Longrightarrow\;-30+6m+42-3m-18=-30+6\cdot(-2)+42-3\cdot(-2)-18=\\
-30-12+42+6-18=-42+42+6-18=-12[/dispmath] E sad ja ne znam gdje sam pogrijesio, ispisao sam kompletan zadatak, valjda se mozete snaci.

Ovde je greška:

qq123qq je napisao:[dispmath]3\begin{vmatrix}
6 & m-4\\
-2 & -3
\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}
6 & m-4\\
-1 & -3
\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}
6 & 6\\
-1 & -2
\end{vmatrix}=\\
=3(-18+2m+8)-3(-18+m+4)+3(-12+6)[/dispmath]

Pomnožio si [inlmath]m-4[/inlmath] sa [inlmath]-2[/inlmath] i kada promenimo znak treba da bude [inlmath]2m{\color{red}-}8[/inlmath]. Analogno, u sledećoj zagradi treba da bude [inlmath]m{\color{red}-}4[/inlmath].

Još jednom bih te zamolio da napišeš rešenje ovog zadatka (pošto si naveo da ga imaš).

Hvala mnogo na pomoci, ali nemam rijesenje zadatka, mozda sam se lose izrazio ranije.

qq123qq je napisao:[dispmath]=\begin{vmatrix}
3 & 3 & 3\\
6 & 6 & m-4\\
-1 & -2 & -3
\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}
6 & m-4\\
-2 & -3
\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}
6 & m-4\\
-1 & -3
\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}
6 & 6\\
-1 & -2
\end{vmatrix}=[/dispmath]

Pošto ovde imamo determinantu [inlmath]3\times3[/inlmath], mislim da je jednostavnije da se primeni Sarusovo pravilo.

---

Zadatak se može rešiti na još jedan način – odredi se jednačina ravni koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] (pomoću sistema tri jednaine s četiri nepoznate), a zatim se odredi parametar [inlmath]m[/inlmath] tako da koordinate tačke [inlmath]D[/inlmath] zadovoljavaju prethodno određenu jednačinu ravni (tj. da tačka [inlmath]D[/inlmath] pripada toj ravni).