MATEMANIJA

Pozdrav svima, imam problem sa ovim zadatkom:

Neka su [inlmath]A(1,1,2)[/inlmath], [inlmath]B(1,2,3)[/inlmath] i [inlmath]C(-1,1,2)[/inlmath] temena paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath]. Izračunati koordinate četvrtog temena i težišta [inlmath]T[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath]?

Izračunao sam četvrtu koordinatu temena, ali sad ne znam kako da uradim drugi deo zadatka?

Unapred se zahvaljujem.

Šta je po definiciji težište trougla? Tačka u kojoj se seku duži koje spajaju teme trougla sa sredinom naspramne stranice. Znači, odrediš sredinu jedne stranice, odrediš pravu koja spaja sredinu te stranice sa naspramnim temenom, ponoviš to za drugu stranicu i teme i nađeš presek dve tako dobijene prave. Probaj, pa reci ako bude problema.

A ako još iskoristimo i činjenicu da težište deli težišne duži u odnosu [inlmath]2:1[/inlmath], onda ne moramo određivati dve težišne duži pa tražiti njihov presek, već je dovoljno odrediti vektor samo jedne težišne duži, a položaj težišta na toj duži nalazimo koristeći taj odnos [inlmath]2:1[/inlmath].

Takođe, budući da temena [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] imaju jednake [inlmath]y[/inlmath]- i [inlmath]z[/inlmath]-koordinate, očigledno će biti lakše odrediti sredinu stranice [inlmath]AC[/inlmath] nego sredine preostalih dveju stranica (kod kojih bismo za koordinate dobili razlomke).

Pokušavao sam da ga rešim, ali mi nije pošlo za rukom. Samo sam uspeo odrediti sredinu stranice između [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] (obeležio sam je sa [inlmath]M[/inlmath]) i dobijem da to iznosi [inlmath]M=(0,1,2)[/inlmath]. E sad kako da primenim taj odnos [inlmath]2:1[/inlmath]?

Jesi li odredio vektor [inlmath]\vec{BM}[/inlmath]? Iz činjenice da težište [inlmath]T[/inlmath] pripada duži [inlmath]BM[/inlmath] i dvaput je bliže tački [inlmath]M[/inlmath] nego tački [inlmath]B[/inlmath], sledi [inlmath]\vec{TM}=\frac{1}{3}\vec{BM}[/inlmath] (ili [inlmath]\vec{BT}=\frac{2}{3}\vec{BM}[/inlmath]). Odatle možeš naći tražene koordinate težišta [inlmath]T[/inlmath].

Tako je, dakle nadje se tačka [inlmath]M[/inlmath] (središte stranice [inlmath]AC[/inlmath]), pa se izračuna vektor [inlmath]\vec{BM}[/inlmath], pomoću kojega izračunamo vektor [inlmath]\vec{TM}[/inlmath], tako što svaku koordinatu podelimo sa tri, i onda dobijemo [inlmath]\vec{TM}\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)[/inlmath]. Da bismo dalje izračunali koordinate težišta primenimo to da je [inlmath]-\frac{1}{3}=M_x-T_x[/inlmath], i tako postavljene jednačine za sve tri koordinate, dobijamo [inlmath]T\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3}\right)[/inlmath].