MATEMANIJA

Nagib vektora [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] određenu tačkama [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]

Date su koordinate:
[dispmath]A=(-4,-5,-7)\\
B=(-3,1,-4)\\
C=(0,-3,4)\\
D=(4,3,-1)[/dispmath] Zadatak sam skicirala kroz tetraedar i odredila vektore [inlmath]\vec{BC}[/inlmath], [inlmath]\vec{BD}[/inlmath] i [inlmath]\vec{BA}[/inlmath] (u bazi [inlmath]C[/inlmath], [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]). Preko mešovitog proizvoda odredila sam zapreminu tetraedra kao šestinu zapremine paralelopipeda, [inlmath]V=59,3[/inlmath]. Iz formule za zapreminu [inlmath]V=\frac{BH}{3}[/inlmath], prethodno kad nađemo površinu baze kao polovinu paralelograma određenog vektorima [inlmath]\vec{CD}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CB}[/inlmath], dobije se [inlmath]H=\frac{3V}{B}=2,73[/inlmath].

Kako dalje dobiti nagib [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] na ravan, preko izračunate visine iz temena [inlmath]A[/inlmath]?

Zadatak može da se uradi tako što se prvo odredi jednačina ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] koja je određena tačkama [inlmath]B,C,D[/inlmath] pomoću sledeće jednačine:
[dispmath]\begin{equation}
\begin{vmatrix}
x-x_B & y-y_B & z-z_B\\
x_C-x_B & y_C-y_B & z_C-z_B\\
x_D-x_B & y_D-y_B & z_D-z_B
\end{vmatrix}=0
\end{equation}[/dispmath] Zatim se odredi jednačina prave [inlmath]p[/inlmath] koja je određena tačkama [inlmath]A,C[/inlmath] a potom pomoću formule
[dispmath]\angle(p,\alpha)=\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{|\vec{p}\cdot\vec{n_\alpha}|}{|\vec{p}|\cdot|\vec{n_\alpha}|}[/dispmath] se odredi ugao između [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]\alpha[/inlmath]. Naravno [inlmath]\vec{n_\alpha}[/inlmath] je normalni vektor ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] a [inlmath]\vec{p}[/inlmath] vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath].

A ako si već izračunala [inlmath]V[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] (uzgred, [inlmath]H[/inlmath] ti je pogrešno, treba da se dobije [inlmath]H\approx5,53[/inlmath]), onda možeš uočiti pravougli trougao čija je jedna kateta [inlmath]H[/inlmath], druga kateta leži u ravni [inlmath]\alpha[/inlmath], a hipotenuza je [inlmath]AC[/inlmath]. Traženi ugao između vektora [inlmath]\vec{AC}[/inlmath] i ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] možeš sasvim jednostavno odrediti preko sinusa,
[dispmath]\sin\angle(\vec{AC},\alpha)=\frac{H}{|\vec{AC}|}[/dispmath]

Hvala mnogo!