MATEMANIJA

Imam problemcic sa shvatanjem primera iz oblasti elektrostatike, konkretno Kulonovog zakona.
Nije mi jasno kako je dobijen izraz koji sam zaokruzio na trecoj slici, razumem da je [inlmath]\vec F_{e1}[/inlmath] projektovan na ose, ali ne razumem ovaj izraz sto su oni dobili.
Projektovanje vektora na ose me buni, negde kazu da je projekcija vektor, negde skalar negde kazu da se racuna [inlmath]\vec F=F_x\cdot\vec i_x[/inlmath] dok negde pise da je [inlmath]F_x=\vec F\cdot\vec i_x[/inlmath]

Primer. Pretpostavimo da se tačkasta naelektrisanja [inlmath]Q[/inlmath], [inlmath]Q_1[/inlmath] i [inlmath]Q_2[/inlmath] nalaze u tačkama čije su Dekartove koordinate [inlmath]\left(0,a,0\right)[/inlmath], [inlmath]\left(-a,0,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(a,0,0\right)[/inlmath], respektivno, gde je [inlmath]a>0[/inlmath] (slika 1.4a), i da je [inlmath]\left|Q\right|=\left|Q_1\right|=\left|Q_2\right|[/inlmath], ali da nisu poznati znaci naelektrisanja. Odredimo, u opštim brojevima, izraz za rezultantnu električnu silu koja deluje na naelektrisanje [inlmath]Q[/inlmath].

maxaa je napisao:Nije mi jasno kako je dobijen izraz koji sam zaokruzio na trecoj slici, razumem da je [inlmath]\vec F_{e1}[/inlmath] projektovan na ose, ali ne razumem ovaj izraz sto su oni dobili.

Sa slike 1.4đ se vidi da je
[dispmath]\left|\vec{F_{e1}}\right|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\left|Q_1Q\right|}{2a^2}\quad\left(1\right)[/dispmath]
Pošto je vektor [inlmath]\vec{F_{e1}}[/inlmath] pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, njega možemo posmatrati kao dijagonalu kvadrata, dok njegovu [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-projekciju možemo posmatrati kao stranice tog kvadrata. Pošto je dijagonala kvadrata [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] puta duža od njegovih stranica, to će i intenzitet vektora [inlmath]\vec{F_{e1}}[/inlmath] biti [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] puta veći od intenziteta njegovih [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-projekcija:
[dispmath]\left|\vec{F_{e1}}\right|=\sqrt 2F_{e1x},\quad\left|\vec{F_{e1}}\right|=\sqrt 2F_{e1y}[/dispmath]
Apsolutne vrednosti [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-projekcija su, naravno, jednake, jer one predstavljaju stranice kvadrata:
[dispmath]\left|F_{e1x}\right|=\left|F_{e1y}\right|=\frac{\left|\vec{F_{e1}}\right|}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2\left|\vec{F_{e1}}\right|}{2}\quad\left(2\right)[/dispmath]
[dispmath]\quad\left(1\right),\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad\left|F_{e1x}\right|=\left|F_{e1y}\right|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\left|Q_1Q\right|}{2a^2}\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath]
[inlmath]F_{e1x}[/inlmath] i [inlmath]F_{e1y}[/inlmath] će, takođe, imati iste predznake, koji će biti jednaki predznaku proizvoda [inlmath]Q_1Q[/inlmath]:
[dispmath]F_{e1x}=F_{e1y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q}{2a^2}\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath]
(to se vidi sa slike; ako je [inlmath]Q_1Q>0[/inlmath], tj. ako su [inlmath]Q_1[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] istog znaka, oni će se odbijati, pa će [inlmath]x[/inlmath]-komponenta sile biti u smeru pozitivnih vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-ose; analogno važi i za [inlmath]y[/inlmath]-komponentu; za [inlmath]Q_1Q<0[/inlmath] važi obrnuto, jer su tada sile privlačne.)
A pošto je
[dispmath]\vec{F_{e1}}=F_{e1x}\vec{i_x}+F_{e1y}\vec{i_y}[/dispmath]
biće:
[dispmath]\vec{F_{e1}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q}{2a^2}\frac{\sqrt 2}{2}\vec{i_x}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q}{2a^2}\frac{\sqrt 2}{2}\vec{i_y}[/dispmath]
tj. kad se izvuče zajednički faktor:
[dispmath]\vec{F_{e1}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q}{2a^2}\frac{\sqrt 2}{2}\left(\vec{i_x}+\vec{i_y}\right)[/dispmath]
i to je taj izraz koji su oni dobili.

maxaa je napisao:Projektovanje vektora na ose me buni, negde kazu da je projekcija vektor, negde skalar negde kazu da se racuna [inlmath]\vec F=F_x\cdot\vec i_x[/inlmath] dok negde pise da je [inlmath]F_x=\vec F\cdot\vec i_x[/inlmath]

Prvi izraz bi, valjda, trebalo da glasi [inlmath]\vec F=F_x\cdot\vec{i_x}+F_y\cdot\vec{i_y}+F_z\cdot\vec{i_z}[/inlmath], osim ako projekcije [inlmath]F_y[/inlmath] i [inlmath]F_z[/inlmath] nisu jednake nuli. To što te buni da li je projekcija vektor ili skalar – po nekoj mojoj logici, u tom izrazu bi bilo najpravilnije [inlmath]F_x[/inlmath] (koji je skalar) nazvati projekcijom vektora na [inlmath]x[/inlmath]-osu, dok bi [inlmath]F_x\cdot\vec{i_x}[/inlmath] (koji je vektor) bilo pravilno nazvati [inlmath]x[/inlmath]-komponentom vektora, budući da se vektorskim sabiranjem komponenata vektora dobija kao rezultanta upravo polazni vektor.
Izraz [inlmath]F_x=\vec F\cdot\vec{i_x}[/inlmath] ne bi trebalo da te zbunjuje. On znači sledeće (prema definiciji skalarnog proizvoda):
[dispmath]F_x=\left|\vec F\right|\cdot\left|\vec{i_x}\right|\cos\angle\left(\vec F,\vec{i_x}\right)[/dispmath]
[dispmath]\left|\vec{i_x}\right|=1\quad\Rightarrow\quad F_x=\left|\vec F\right|\cos\angle\left(\vec F,\vec{i_x}\right)[/dispmath]
a iz trigonometrije znamo da, kada se dužina neke duži pomnoži kosinusom ugla koji ta duž zaklapa s [inlmath]x[/inlmath]-osom, dobija se upravo dužina [inlmath]x[/inlmath]-projekcije te duži. Znači, sve je logično.

maxaa je napisao:Projektovanje vektora na ose me buni, negde kazu da je projekcija vektor, negde skalar negde kazu da se racuna [inlmath]\vec F=F_x\cdot\vec i_x[/inlmath] dok negde pise da je [inlmath]F_x=\vec F\cdot\vec i_x[/inlmath]

Projekcija vektora može biti i vektor i skalar, zavisno od problema o kojem se radi, i obe formule su ok. Treba da primetiš da se intenzitet ovog vekotra [inlmath]\vec{F_x}[/inlmath] može sračunati upravo po ovom drugom obrascu sa skalarom... Veza skalarne i vektorske projekcije ti se onda sama nameće...

Što se konkretne situacije tiče, ti tu silu [inlmath]F_{e1}[/inlmath] razlažeš na dva vektora u pravcu koordinatnih osa, čiji su intenziteti [inlmath]F_{e1}\sin\alpha[/inlmath] (na [inlmath]y[/inlmath]-osu) i [inlmath]F_{e1}\cos\alpha[/inlmath] (na [inlmath]x[/inlmath]-osu). Pri tom je ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] ovde [inlmath]45^\circ[/inlmath] zbog geometrije problema, pa je [inlmath]\cos\alpha=\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}[/inlmath]. Vektorske projekcije su onda, [inlmath]F_{e1y}\vec{e_y}\sin\alpha=F_{e1}\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{e_y}[/inlmath] i [inlmath]F_{e1}\vec{e_x}\cos\alpha=F_{e1}\frac{\sqrt{2}}{2}\vec {e_x}[/inlmath].

Ukupna sila [inlmath]F_{e1}[/inlmath] je [inlmath]\vec{F_{e1}}=\vec{F_{e1y}}+\vec{F_{e1x}}=F_{e1}\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{e_y}+F_{e1}\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{e_x}=F_{e1}\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\vec{e_x}+\vec{e_y}\right)[/inlmath], pri čemu do formule koju si označio dolaziš primenom Kulonovog zakona, izračunavanjem [inlmath]F_{e1}[/inlmath] (koristeći za rastojanje [inlmath]a\sqrt{2}[/inlmath]).

Slično i za [inlmath]\vec{F_{e2}}[/inlmath], pa traženu vrednost [inlmath]\vec{F_e}[/inlmath] dobiješ iz [inlmath]\vec{F_e}=\vec{F_{e1}}+\vec{F_{e2}}[/inlmath]

Hvala na odgovorima, sve izgleda jako logicno, ali izgleda da ja jos ne mogu da pohvatam sta je sta, dosta slicnih pojmova ima i slicnih oznaka, tipa skalar, intenzitet, apsolutna vrednost, algebarski intenzitet, pa ne mogu da ispratim sta je sta, dugo se nije radilo pa mozak sporije radi.
Iznerviram se kad vidim istu stvar napisanu na drugi nacin, npr. ovu formulu [inlmath]F_x=\left|\vec F\right|\cdot\left|\vec{i_x}\right|\cos\angle\left(\vec F,\vec{i_x}\right)[/inlmath] nisam mogao da shvatim, jer je (ne mogu sad da nadjem gde) ort bio napisan bez apsolutne:
[dispmath]F_x=\left|\vec F\right|\cdot\vec{i_x}\cdot\cos\angle\left(\vec F,\vec{i_x}\right)[/dispmath]
I na kraju ostave taj ort [inlmath]\vec{i_x}[/inlmath], iako bi trebao da se izgubi s obzirom da mu je intenzitet jedan:
[dispmath]\left|\vec{i_x}\right|=1\quad\Rightarrow\quad F_x=\left|\vec F\right|\cos\angle\left(\vec F,\vec{i_x}\right)\cdot\vec{i_x}[/dispmath]
Onda se zbunim, jer time mi demantuju formulu za skalarni proizvod dva vektora, iznerviram se i ne znam gde bijem. Mozda me niste razumeli sta sam hteo da kazem, ali bitno je da sam ja vas razumeo i da mi je sada jasnije. Hvala.

EDIT: I da jos jedno pitanje, za [inlmath]\vec{F_{e2}}[/inlmath], jel se za [inlmath]\vec{i_x}[/inlmath] uzima predznak minus zato sto je projekcija tog vektora na [inlmath]x[/inlmath]-osu nalazi na negativnom delu [inlmath]x[/inlmath]-ose?

maxaa je napisao:[dispmath]F_x=\left|\vec F\right|\cdot\vec{i_x}\cdot\cos\angle\left(\vec F,\vec{i_x}\right)[/dispmath]
I na kraju ostave taj ort [inlmath]\vec{i_x}[/inlmath], iako bi trebao da se izgubi s obzirom da mu je intenzitet jedan:

Trebalo bi da se izgubi ako se traži [inlmath]x[/inlmath]-projekcija vektora [inlmath]\vec F[/inlmath] kao skalarna veličina. Ali, ako [inlmath]x[/inlmath]-komponentu tog vektora žele da predstave kao vektor, onda je [inlmath]\vec{i_x}[/inlmath] neophodan, jer on daje informaciju o pravcu i smeru te komponente, tj. da je komponenta u pravcu [inlmath]x[/inlmath]-ose, a da joj je smer prema rastućim vrednostima [inlmath]x[/inlmath]-ose. Mada bi onda na levoj strani jednakosti komponentu trebalo obeležiti ne kao [inlmath]F_x[/inlmath], već kao [inlmath]\vec{F_x}[/inlmath] ili kao [inlmath]F_x\vec{i_x}[/inlmath], kako bi se znalo da je u pitanju vektorska veličina.

Daniel je napisao:Mada bi onda na levoj strani jednakosti komponentu trebalo obeležiti ne kao [inlmath]F_x[/inlmath], već kao [inlmath]\vec{F_x}[/inlmath] ili kao [inlmath]F_x\vec{i_x}[/inlmath], kako bi se znalo da je u pitanju vektorska veličina.

Pa to me je i zbunilo, negde je na jedan nacin napisano negde na drugi, pokusavam sad da shvatim te oznake, da raskrstim sta je sta.