MATEMANIJA

Neka je [inlmath]V[/inlmath] vektorski prostor koji je generisan skupom vektora [inlmath]\left\{a,\:b,\:c,\:d,\:e\right\}[/inlmath], čije sve zavisnosti su date sledećim jednakostima i njihovim linearnim kombinacijama:
[dispmath]a+b-15c+10d-e=0\\
2a+b+18c-12d+e=0\\
a+33c-22d+2e=0[/dispmath] a) Odrediti dimenziju vektorskog prostora [inlmath]V[/inlmath]
b) Naći sve podskupove skupa [inlmath]\left\{a,\:b,\:c,\:d,\:e\right\}[/inlmath] koji su baze prostora [inlmath]V[/inlmath]

Kod ovog zadatka, nije mi najjasnije kako se pre svega određuje dimenzija vektorskog prostora (pretpostavljam da zavisi od broja promenljivih u nekom vidu) a posebno ne razumem kako se nalaze podskupovi istog.

Jedino što sam znao da započnem jeste da malo sredim sistem - Sabrao sam prvu sa drugom i pomnožio prvu sa [inlmath]-1[/inlmath] i dodao trećoj:
[dispmath]a+b-15c+10d-e=0\\
3a+2b+3c-2d=0\\
-b+48c-32d+3e=0[/dispmath] Onda sam poslednju j-nu pomnožio sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]-b+48c-32d+3e=0\\
3a+99c-66d+6e=0[/dispmath] (naravno, skrati se poslednja sa [inlmath]3[/inlmath] posle)

Dalje ne bih znao šta raditi. Hvala unapred na pomoći.

Koliko se sećam, dimenzija vektorskog prostora jednaka je broju linearno nezavisnih vektora tog prostora (neka me neko ispravi ako je ovo previše slobodna i/ili neprecizna formulacija).
Određujući rang date matrice (iznosi [inlmath]2[/inlmath]) dolazimo do broja linearno nezavisnih promenljivih od datih [inlmath]5[/inlmath]. Broj dvočlanih podskupova skupa od [inlmath]5[/inlmath] elemenata je [inlmath]10[/inlmath] (kombinacije bez ponavljanja, nije ih teško navesti). To bi bilo to, ukoliko nisam šta pogrešio ovim načinom razmišljanja.

Otprilike sada shvatam suštinu. Zanima me još na koji način se određuje rang tj. dimenzija kad imamo sistem (u ovom slučaju gde je [inlmath]5+[/inlmath] nepoznatih) i na koji se način navode ti skupovi? Ako ne grešim, ako im koordinate nisu proporcionalne onda su podskupovi, ali nisam siguran u potpunosti kako se radi to.

Dakle, sve zavisnosti su date sistemom jednačina:
[dispmath]a+b-15c+10d-e=0\\
2a+b+18c-12d+e=0\\
a+33c-22d+2e=0[/dispmath] Nakon što od druge jednačine oduzmemo prvu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath], a od treće jednačine oduzmemo prvu, dobijamo sistem
[dispmath]a+b-15c+10d-e=0\\
-b+48c-32d+3e=0\\
-b+48c-32d+3e=0[/dispmath] kod koga odmah vidimo da su druga i treća jednačina identične, čime se sistem svodi na dve jednačine:
[dispmath]a+b-15c+10d-e=0\\
-b+48c-32d+3e=0[/dispmath] Takođe vidimo i da druga jednačina nije umnožak prve, što znači da je sistem ove dve jednačine linearno nezavisan. Dodavanjem druge jednačine prvoj dobijamo sistem
[dispmath]a+33c-22d+2e=0\\
-b+48c-32d+3e=0[/dispmath] Pošto su, po tekstu zadatka, sve zavisnosti vektora date s ove dve jednačine, vidimo da se i vektor [inlmath]a[/inlmath] i vektor [inlmath]b[/inlmath] mogu izraziti preko vektora [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath] i [inlmath]e[/inlmath], što znači da vektori [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath] i [inlmath]e[/inlmath] čine bazu ovog prostora, a što znači da je dimenzija ovog vektorskog prostora jednaka [inlmath]3[/inlmath].
Dakle, [inlmath]\{c,d,e\}[/inlmath] je jedan podskup skupa [inlmath]\{a,b,c,d,e\}[/inlmath] koji predstavlja bazu prostora [inlmath]V[/inlmath].
Pošto je dimenzija vektorskog prostora [inlmath]V[/inlmath] jednaka [inlmath]3[/inlmath], kandidati za bazu ovog prostora su svi podskupovi skupa [inlmath]\{a,b,c,d,e\}[/inlmath] koji sadrže [inlmath]3[/inlmath] elementa, a takvih podskupova ima [inlmath]5\choose3[/inlmath], tj. [inlmath]10[/inlmath].
Ako bi npr. drugu jednačinu pomnožio sa [inlmath]2[/inlmath] i od nje oduzeo prvu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath], dobio bi sistem
[dispmath]a+33c-22d+2e=0\\
-3a-2b-3c+2d=0[/dispmath] odakle vidimo da i podskup [inlmath]\{a,c,d\}[/inlmath] predstavlja bazu prostora [inlmath]V[/inlmath], a vektori [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]e[/inlmath] se mogu izraziti preko ova tri vektora.
Na sličan način se vrši provera i za preostalih osam podskupova...